状态压缩dp初学__$Corn Fields$
明天计划上是要刷状压，但是作为现在还不会状压的\(ruoruo\)来说是一件非常苦逼的事情，所以提前学了一下状压\(dp\)。
鸣谢\(hmq\ juju\)的友情帮助
状态压缩动态规划
本博文的大体内容说明
因为刚学习状态压缩，并且刚做完一道例题。写博客的主要目的是怕自己忘掉，免得以后再重新学习一遍。而那些来踩我博客的同志们，希望以辩证的眼光来看待这篇博文。
于是这篇博客就讲\(Corn Fields\)这一道例题。所以阅读以下内容之前请先浏览一下题目。
基本原理
状态压缩\(dp\)主要是在二进制上进行状态转移的一种动态规划，因为每一个十进制的数可以表示成二进制，所以我们每一行的状态用一个十进制的数来储存。
状态压缩\(dp\)的主要工具
因为状态是在二进制上进行转移的，所以我们需要用到一些位运算来帮助我们进行状态转移。
- |符号，表示或运算，0|1=1,1|1=1,1|0=1,0|0=0。
- &符号，表示与运算，0&1=0,1&1=1,1&0=0,0&0=0。
- 符号，表示异或运算，01=1,11=0,10=1,0^0=0。
- <<符号，表示在2进制下小数点向右移动若干位，1<<2=4,3<<1=6。
- >>符号，表示在2进制下小数点向左移动若干位，2>>1=1,13>>3=1。
- 判断数字x第i位是否是1——if (x&(1<<i))。
- 将一个数字x第i位改变为1——x|=(1<<i)。
状态压缩\(dp\)实现的基本过程
- 首先枚举所有的情况。根据题意，\(1\)表示有草，\(0\)表示没草，然后又有\(n\)位，所以我们就枚举\(0\sim2^n\)的位数，为啥尼?
因为\(0\)表示没有草的情况，而\(2^n\)也就是\(\begin{matrix} \underbrace{ 1\cdots1 } \\ n\end{matrix}\)这种全是草的情况，所以要这样枚举。然后我们在存储合法状态，存到\(state\)数组里。 - 枚举完之后，我们的所有情况出来了，我们要进行存图，存图也要用二进制。这里我们存图用一个\(cur\)数组，这个数组表示图的存储，为了方便，我们将无草转变为\(1\)，有草为\(0\)。
- 然后就是进行状态存储。我们已经有了合法状态，我们也有图，我们就要枚举判断合法状态内的可行状态。
这里我们要用到一个\(fit\)函数。fit函数可以帮助我们判断合不合理，然后找到可行状态 - 状态转移。设\(dp[i][j]\)表示第\(i\)行的第\(j\)个状态。
状态转移要枚举上一层的状态。然后方程很简单\(dp[i][j]=dp[i][j]+dp[i-1][k]\)。
例题代码讲解
首先我们看一下如何枚举状态
inline void init()//初始化
{
int sum=1<<n,i;//列举可能状态，并预存
for (i=0;i<sum;i++)
if (!(i&(i<<1)))//枚举合法状态
state[++tot]=i;
}
为什么\(!(i\&(i<<1))\)呢，因为你只要有牧草重叠，这个数绝对不会为\(0\)。
然后看一下图的存储
for (i=1;i<=m;i++)
for (j=1;j<=n;j++)
{
k=read();
if (!k)
cur[i]+=(1<<(n-j));
}
为啥是左移\(n-j\)为呢\(?\)
因为你是从右往左来储存二进制的，第\(j\)位如果反过来肯定是第\(n-j\)位咯。
\(fit\)函数
inline bool fit(int x,int k)//判断当前状态是否符合当前行
{
return !(state[x]&cur[k]);
}
只要这一个函数理解了，状压就基本搞定了。
因为\(state\)存储的是合法状态，\(cur\)存储的是不合法状态，所以两者按位与，合法状态的数一定为\(0\)，不合法状态的数一定不为\(0\)。这里有的同志就开始疑惑了，为啥尼？
你想想\(state\)里面\(1\)为有草，\(cur\)里面\(1\)为无草，而\(1\&1\)则代表有值，那么这个方案可行吗？
就这样我们能进行第一行的初始化咯
for (i=1;i<=tot;i++)//初始化第一行
if (fit(i,1))
dp[1][i]=1;
状态转移
状态转移相对来说就比较简单了。
for (i=2;i<=m;i++)//枚举行
for (j=1;j<=tot;j++)//枚举当前状态
{
if (!fit(j,i))//如果这一层的方案不在可行方案里
continue;
for (k=1;k<=tot;k++)//枚举上一层可行状态
{
if (!fit(k,i-1))//如果这一层的方案不在可行方案里
continue;
if (state[j]&state[k])//如果上一层的可行方案与这一层可行方案冲突，意思是上下有草挨着
continue;
dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][k])%mod;//状态转移
}
}
具体可能的疑问都在代码中注释了
第一层枚举行数，第二层枚举可行方案，第三层枚举上一层的可行方案，万事大吉！
代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cctype>
#define mod 100000000
#define C continue//懒得打hhhhh
using namespace std;
int n,m,tot,state[1500],dp[15][1500],ans,cur[15];//dp表示当前最大值，第一维是行数，第二维是状态数，cur是每行的情况，state是预存的可能状态
inline int read()//读入优化
{
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while (!isdigit(c))
f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
while (isdigit(c))
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
return x*f;
}
inline bool fit(int x,int k)//判断当前状态是否符合当前行
{
return !(state[x]&cur[k]);
}
inline void init()//初始化
{
int sum=1<<n,i;//列举可能状态，并预存
for (i=0;i<sum;i++)
if (!(i&(i<<1)))//枚举合法状态
state[++tot]=i;
}
int main()
{
int i,j,k;
m=read();
n=read();
init();
for (i=1;i<=m;i++)
for (j=1;j<=n;j++)
{
k=read();
if (!k)
cur[i]+=(1<<(n-j));
}
for (i=1;i<=tot;i++)//初始化第一行
if (fit(i,1))
dp[1][i]=1;
for (i=2;i<=m;i++)//枚举行
for (j=1;j<=tot;j++)//枚举当前状态
{
if (!fit(j,i))//如果这一层的方案不在可行方案里
continue;
for (k=1;k<=tot;k++)//枚举上一层可行状态
{
if (!fit(k,i-1))//如果这一层的方案不在可行方案里
continue;
if (state[j]&state[k])//如果上一层的可行方案与这一层可行方案冲突，意思是上下有草挨着
continue;
dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][k])%mod;//状态转移
}
}
for (i=1;i<=tot;i++)
ans=(ans+dp[m][i])%mod;
printf("%d",ans);
return 0;
}
