最长公共上升子序列$LCIS$
今天做题做到\(LCIS\)的题目,然后不知道为啥走神连带看知乎最后一个半小时才搞懂
所以讲\(LCIS\)之前也说说\(LCS \& LIS\)
\(LIS\)
\(LIS\)又名最长上升子序列,就是让你求最长上升的序列。
话不多说,直接上代码吧,反正不是重点。这里主要讲的是二分查找优化
for(int i=2; i<=n; i++)
{
p=a[i];
if(p<=f[len])
{
f[++len]=p;
continue;
}
int l=0,r=len;
while(l<=r)
{
int mid=(l+r)/2;
if(p<=f[mid])
l=mid+1;
else r=mid-1;
}
f[l]=p;
}
其实c++里面还有一个黑科技函数叫做\(lower\_bound\),你要是不写二分查找可以用一下这个函数,挺实用的。
\(LCS\)
\(LCS\)又名最长公共子序列,复杂度如果不是特定题目的话普遍为\(nm\),因为他需要遍历两个数组。
设方程\(dp[i][j]\)表示\(a\)到\(i\),\(b\)到\(j\)的序列时的最长长度,因此,\(dp\)方程显而易见的就求出来了
\[dp[i][j]=
\begin{cases}
\max(dp[i-1][j],\,dp[i][j-1])\\
dp[i-1][j-1],\,(a[i]=b[j])\\
\end{cases}
\]
然后就是代码
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
{
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
if(a[i]==b[j])
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1])+1;
}
\(LCIS\)
这才是今天要讲的重点。
首先设一个方程\(dp[i][j]\)表示\(a\)以\(i\)结尾,\(b\)以\(j\)结尾并且末尾一定是\(b_j\)的公共子序列。
首先就是转移方程\(dp[i][j]=dp[i-1][j]\),为啥呢。
因为这是以\(b_j\)结尾的,所以它需要从上一维中获得状态转移。
然后就是分两种情况,一种是\(a[i]=b[j]\),另一种\(a[i]>b[j]\)。
如果\(a[i]>b[j]\),那肯定存在一个\(a_1 \cdots a_k\)中必定有一个小于\(b_j\),所以我们就用一个变量维护小于\(b_j\)的最长长度。
如果\(a[i]==b[j]\),那么存在两种选择,选还是不选?
如果选,那么\(dp[i][j]=mx+1\),如果不选,那就是原值。所以方程为\(dp[i][j]=max(dp[i][j],mx+1)\)。
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int mx=0;
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if(a[i]>b[j]) mx=max(mx,f[i-1][j]);
f[i][j]=f[i-1][j];
if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],mx+1);
}
}