树链剖分学习笔记
毕竟刚学到了皮毛，还不足以讲，如果想较为深入的学习的话，请观摩博客：https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8094500.html
更博啦。经过这几天的树链剖分学习，感觉还不是那么难，所以就写一下笔记，供大家分享。这份博客就用洛谷的一道模板题来讲https://www.luogu.org/problemnew/show/P3384
学习之前必须要掌握一些知识，不然你看几天都不会看得懂：线段树，dfs序。
如果掌握了就来看一下这几个定义：
- 重结点：子树结点数目最多的结点；
- 轻节点：父亲节点中除了重结点以外的结点；
- 重边：父亲结点和重结点连成的边；
- 轻边：父亲节点和轻节点连成的边；
- 重链：由多条重边连接而成的路径；
- 轻链：由多条轻边连接而成的路径；
定义没有什么好说的，我们就开始正式讲树链剖分。
比如上面这幅图中，用黑线连接的结点都是重结点，其余均是轻结点，2-11、1-11就是重链，其他就是轻链，用红点标记的就是该结点所在链的起点，也就是我们👇提到的top结点，还有每条边的值其实是进行dfs时的执行序号。
然后就是实现这个算法的辅助数组
| 名称 | 解释 |
|---|---|
| size[x] | 保存以x为根的子树节点个数 |
| top[x] | 保存当前节点所在链的顶端节点 |
| son[x] | 保存重儿子 |
| deep[x] | 保存结点x的深度值 |
| fa[x] | 保存结点u的父亲节点 |
| id[x] | 保存树中每个节点剖分以后的新编号（DFS的执行顺序） |
此外还有两条性质
1.如果（u，v）是轻边，那么size[v]<size[u]/2
2.从根结点到任意结点的路所经过的轻重链的个数必定都小与O(logn)；
然后我们要对这棵树进行预处理
我们用到了两个dfs，dfs1是处理子树大小和父子关系还有节点深度的，dfs2是用来处理编号和重链以及中儿子的。
然后这两个dfs比较好理解，这里就只粘代码，代码里面有注释，可以感性理解一下。
void dfs1(int x,int f) { fa[x]=f;//首先记录父亲 size[x]=1; for(int i=head[x]; i!=-1; i=e[i].next) { if(!deep[e[i].to] && e[i].to != f) { deep[e[i].to]=deep[x]+1;//深度 dfs1(e[i].to,x); size[x]+=size[e[i].to];//子树大小 if(size[e[i].to]>size[son[x]]) son[x]=e[i].to;//如果当前子树比中儿子的子树大，那么当前子树的根为重儿子 } } }
void dfs2(int x,int topf)//topf为当前重链的顶部 { idx[x] = ++cnt;//编号 top[x] = topf; if(!son[x]) return;//小优化 dfs2(son[x],topf); for(int i=head[x]; i!=-1; i=e[i].next) if(!idx[e[i].to] && e[i].to!=fa[x]) dfs2(e[i].to,e[i].to); }
理解了两个dfs，我们就好进行了！
其余的事情就是线段树做的事了，区间加和，区间查询，pushdown操作一样。但是树链剖分还有几个其他的操作。
- 节点路径修改
- 节点路径查询和
- 子树修改
- 子树查询
- 换根
节点路径修改这个操作需要用到一个函数：树上修改（change_tree)
这个思想就是用到了倍增，这样考虑，因为两个节点分别在两条重链上，然后你不断缩短重链，期间不断进行区间修改，然后这两个节点最后一定在一个重链上，在进行最后一步区间修改，大功告成。树上查询也是这样的。然后就是这段代码。
void add_tree(int x,int y,int val) { while(top[x]!=top[y]) { if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y); add_interval(1,idx[top[x]],idx[x],val); x=fa[top[x]]; } if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y); add_interval(1,idx[y],idx[x],val); }
int asksum_tree(int x,int y) { int ans=0; while(top[x]!=top[y]) { if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y); ans=(ans+asksum_interval(1,idx[top[x]],idx[x]))%p; x=fa[top[x]]; } if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y); return (ans+asksum_interval(1,idx[y],idx[x]))%p; }
子树修改和子树查询也非常的简单。你可以观察一下发现，因为树映射到线段树上的是一段区间，所以它的子树的区间为[id[x],id[x]+size[x]-1]，所以代码如下
//子树修改 change_interval(1,id[x],id[x]+size[x]-1,val) //子树查询 ask_interval(1,id[x],id[x]+size[x]-1)
之后就是我所说的换根操作。这个操作看似很麻烦，其实不然，我们可以用分类讨论的思想：设查询点为a，当前根节点为root
- 查询点与根节点相同：直接返回根节点的值
- LCA(a,root)!=a 那么直接返回a的子树的信息
- LCA(a,root)==a ，所以a和root在一棵子树，因为这棵树对应在线段树上的区间是连续的，所以我们访问除root子树之外的所有的区间，就是查询a的子树[1,id[root]-1]&[id[root]+size[x],n]
有些题有可能你会碰上树剖求LCA，这里就奉上树剖求LCA代码，代码很简单，你一定能看懂，而且你会发现耗时惊的一批
int LCA(int x,int y) { while(top[x]!=top[y]) { if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y); x=fa[top[x]]; } return deep[x]<=deep[y]? x:y; }
