1.2练习题解答

 

15，证明(p→q) Λ (q→r) → (p→r)是永真式

证明过程

(p→q) Λ (q→r) → (p→r)
=¬[(p→q) Λ (q→r)] V (p→r) 设x=(p→q)Λ(q→r)，y=(p→r)，x→y=¬xVy
=[¬(p→q) V ¬(q→r)] V (p→r) 根据德摩根定律，展开¬[(p→q)Λ(q→r)]
=¬(p→q) V [¬(q→r) V (p→r)] 根据结合律
=¬(p→q) V [¬(¬q V r) V(¬p V r)] 将x→y变换为¬xVy
=¬(p→q) V [(q Λ ¬r) V ¬p V r] 根据德摩根定律，展开¬(¬qVr)
=¬(p→q) V [(q Λ ¬r) V r] V ¬p 根据结合律
=¬(p→q) V [(q V r) Λ (¬r V r)] V¬p 根据分配律展开(qΛ¬r)Vr
=¬(p→q) V [(q V r) Λ T] V ¬p 根据否定律，¬rVr=T
=¬(p→q) V (q V r) V ¬p 根据恒等律，(qVr)ΛT=qVr
=¬(p→q) V (¬p V q) V r 根据交换律
=¬(p→q) V (p→q) V r
=TVr 根据否定率¬(p→q)V(p→q)=T
=T 根据支配律

 26，只用运算符↓构造一个等价于p→q的命题

根据NOR的定义可以知道p↓q等价于¬(p V q)
而根据幂等律p=p V p，所以¬p=¬(p V p)=p ↓ p
又已知p→q=¬p V q
先用↓构造简单p V q
p V q
=¬[¬(p V q)]
=¬(p↓q)
=(p ↓ q) ↓ (p ↓ q) 上面已经证明过¬p=p ↓ p
所以¬p V q
=(¬p ↓ q) ↓ (¬p ↓ q) 将¬p=p ↓ p代入得到
=[(p ↓ p) ↓ q] ↓ [(p ↓ p) ↓ q]