bzoj 3105

 

感觉这题出得真好。

我们将问题简化过后是这样的：

给定一个数集，找一个最大的非空子集（一个集合的大小是它的元素和）A，使得A不存在一个非空子集，其所有元素的异或和为0。

因为我们始终可以只选一个数，所以如果允许选空集，也没有选一个数优，所以我们将原来的问题变成：

给定一个数集，找一个最大的子集（一个集合的大小是它的元素和）A，使得A不存在一个非空子集，其所有元素的异或和为0。

我们定义拟阵（E，I），E为给定的数集，I的元素为所有满足“其所有元素异或和不为0”的集合加上空集。

我们可以将每个数看成一个向量，每一维是0或1，即对应的位，”所有元素异或和不为0“等价于这个向量集合线性不相关，

所以这是一个带权的向量拟阵。

我们先将所有数从大到小排序，从前往后每次尝试加入一个数，能加则加，能加的判定标准是加入后和当前已经加入的数线性不相关（在GF（2）域下？），即加入后不存在一个子集，其异或和为0。

判定是否存在一个子集异或和为0的方法具体看代码，有点类似高斯消元。

/**************************************************************
    Problem: 3105
    User: idy002
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:8 ms
    Memory:1272 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 110
using namespace std;
 
typedef long long dnt;
 
int n;
int aa[N], bb[N];
int stk[N], top;
dnt ans;
 
bool ok() {
    for( int t=0; t<top; t++ ) 
        bb[t] = stk[t];
    for( int b=30,j=0; b>=0 && j<top; b-- ) {
        for( int k=j; k<top; k++ ) {
            if( (bb[k]>>b) & 1 ) {
                swap(bb[k],bb[j]);
                break;
            }
        }
        if( (bb[j]>>b) & 1 ) {
            for( int k=j+1; k<top; k++ )
                if( (bb[k]>>b) & 1 ) {
                    bb[k] ^= bb[j];
                    if( bb[k]==0 ) return false;
                }
            j++;
        }
    }
    return true;
}
int main() {
    scanf( "%d", &n );
    for( int i=0; i<n; i++ )
        scanf( "%d", aa+i );
    sort( aa, aa+n, greater<int>() );
    dnt ans = 0;
    for( int i=0; i<n; i++ ) {
        stk[top++] = aa[i];
        if( !ok() ) {
            top--;
            ans += aa[i];
        }
    }
    printf( "%lld\n", ans );
}