bzoj 2440

 

题意：有一个从小到大的由不包含平方约数的数组成的数列，从1开始，求第k项。

“满足某种限制的数的第k个”+二分答案="前n个数有多少个数满足限制“

求[1,n]中有多少个数没有平方约数，我们考虑求满足要求的数的补集。

求[1,n]中有多少个数有平方约数，我们考虑枚举约数后用容斥解决。

设Ai为包含[1,n]中所有为pi*pi的倍数的数的集合，因为一个数存在平方约数当且仅当它是某个（可能不止一个）质数的平方的倍数，所有转换后的问题的答案是（假如1～sqrt(n)只有3个质数）：

|A1 U A2 U A3 ... | = |A1|+|A2|+|A3|-|A1 and A2|-|A1 and A3|-|A2 and A3|+|A1 and A2 and A3|

我们发现是奇数个质数的积的倍数前面的符号都是-1，偶数个则是1，这正好符合Mobius函数的定义，于是我们可以枚举所有不包含平方因子的数i，然后floor(n/(i*i))为是它的倍数的数的个数，而它们前面的符号为mobius[i]。

 

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    Problem: 2440
    User: idy002
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:1232 ms
    Memory:1232 kb
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#include <cstdio>
#include <cmath>
 
int prm[6000], isnot[50010], mu[50010], ptot;
 
void init() {
    mu[1] = 1;
    for( int i=2; i<=50000; i++ ) {
        if( !isnot[i] ) {
            prm[++ptot]=i;
            mu[i] = -1;
        }
        for( int j=1; j<=ptot && prm[j]*i<=50000; j++ ) {
            isnot[i*prm[j]]=true;
            if( i%prm[j]==0 ) {
                mu[i*prm[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prm[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int calc( int n ) {
    int rt = 0;
    int maxi = (int)ceil(sqrt(n));
    for( int i=1; i<=maxi; i++ )
        rt += mu[i]*(n/(i*i));
    return rt;
}
int nth( int k ) {
    int lf=1, rg=2000000000;
    while( lf<rg ) {
        int mid=lf+((rg-lf)>>1);
        int cnt=calc(mid);
        if( cnt<k ) lf=mid+1;
        else rg=mid;
    }
    return lf;
}
 
int main() {
    int T;
    init();
    scanf( "%d", &T );
    while( T-- ) {
        int k;
        scanf( "%d", &k );
        printf( "%d\n", nth(k) );
    }
}