GraphicsLab Project 之 Curl Noise

作者：i_dovelemon

日期：2020-04-25

主题：Perlin Noise, Curl Noise, Finite Difference Method

引言

最近在研究流体效果相关的模拟。经过一番调查，发现很多的算法都基于一定的物理原理进行模拟，计算量相对来说都比较高昂。最终寻找到一个基于噪音实现的，可在视觉上模拟流体效果的方法：Curl Noise。题图就是通过 Curl Noise 模拟的流体向量场控制的百万粒子的效果。

背景知识

在讲解什么是 Curl Noise 之前，我们需要了解一些相关背景知识。

向量场（Vector Field）

一个2D 或者 3D 的向量场，表示的是赋予空间中任意点一个 2D 或者 3D 向量的函数。公式表示如下所示：

$\vec{F}\left(x,y \right)=P\left(x,y\right)\vec{i}+Q\left(x,y\right)\vec{j}$

$\vec{F}\left(x,y,z \right)=P\left(x,y,z\right)\vec{i}+Q\left(x,y,z\right)\vec{j}+R\left(x,y,z\right)\vec{k}$

其中，$P$，$Q$，$R$ 各表示一个标量函数，即它们的返回值是一个标量；$\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$ 各表示一个基向量。（参考文献[1]）

上面数学的解释大家可能不熟悉，但是很多人或多或少的都看过向量场的图片形式，如下所示：

散度和旋度（Curl and Divergence）

首先，我们来定义一个 $\nabla$ 操作，如下所示：

$\nabla=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k}$

其中$\partial$表示的是偏导数符号，不熟悉的读者可以去复习下微积分或者参考文献[2]。有了这个操作符之后，我们定义旋度为：

$curl\vec{F}=\nabla\times\vec{F}=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$

其中$\times$为叉积操作符（参考文献[3]）。

有了旋度之后，我们再来定义散度，同样的，公式如下所示：

$div\vec{F}=\nabla\cdot \vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

特别的，散度和旋度之间有如下的一个关系：

$div(curl\vec{F})=0$

以上内容，参考文献[4]。

根据上面的公式，我们可以知道，对于一个向量场的旋度场，它的散度为 0，即它是一个无源场（Divergence-Free）。而一个散度为 0 的向量场，表示这个场是不可压缩的流体，这对日常所见的流体来说是一个很重要的视觉性质，所以据此我们可以使用一个场的旋度场来模拟流体效果。

Curl Noise

所谓 Curl Noise，即是对一个随机向量场，进行 Curl 操作之后得到的新场。因为满足散度为 0 的特性，所以这个场看上去就具有流体的视觉特性。如果用这个场作为速度去控制粒子，即可得到开头视频中流动的效果。

2D Curl Noise

前面我们说过，需要一个随机的向量场。这里我们使用 Perlin Noise 来进行模拟，关于 Perlin Noise 网上一堆资料，这里就不再赘述。

我们假设 Perlin Noise 的函数为：

$N(x,y)$

它的返回值是一个标量值。然后据此建立一个新的向量场：

$\vec{F}(x,y) = (N(x,y), N(x,y))$

然后对这个新的向量场进行 Curl 操作，即可得到旋度场。

前面只说过 3D 情况下的 Curl 操作是怎么样的，这里给出 2D 版本的 Curl 操作：

$curl\vec{F}(x, y) = (\frac{\partial N(x,y)}{\partial y}, -\frac{\partial N(x,y)}{\partial x})$

这里就只剩下了最后一个问题，那就是形如 $\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$ 这样的偏导数，该怎么计算。我们这里使用一个名为有限差分的方法(Finite Difference Method)来近似求解。

Finite Difference Method

根据文献[2]中对于偏导数的描述，我们知道 $\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$ 只是一种表达方式，它的精确表示方法为：

$\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}= N_x(x,y) = \lim_{h\to0}{\frac{N(x + h,y)-N(x,y)}{h}}$

而后面极限的表达方式则给了我们近似计算这个偏导数的方法，只要给定一个较小的 $h$ 值，就能够近似的得到偏导数的结果。而这种计算方法即为：有限差分方法(Finite Difference Method)。

除了上面的极限表示方法之外，还有另外一种极限表示方法，如下所示：

$\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}= N_x(x,y) = \lim_{h\to0}{\frac{N(x,y)-N(x-h,y)}{h}}$

这两种差分方法分别称之为前向差分(Forward Difference)和逆向差分(Backward Difference)方法。我这里主要使用逆向差分方法。

有了计算偏导数的方法之后，我们就可以实际带到 2D Curl 操作的公式进行计算，如下是计算 2D Curl Noise 的伪代码：

vec2 computeCurl(float x, float y)
{
    float h = 0.0001f;
    float n, n1, n2, a, b;

    n = N(x, y);
    n1 = N(x, y - h);
    n2 = N(x - h, y);
    a = (n - n1) / h;
    b = (n - n2) / h;

    return vec2(a, -b);
}

知道怎么计算 2D Curl Noise 之后，我们用计算出来的 Curl Noise 作为速度场去控制粒子进行运动，如下是 2D Curl Noise 控制粒子运动的效果：

3D Curl Noise

有了前面 2D Curl Noise 的实现，如法炮制的实现 3D Curl Noise 的推导。

3D Perlin Noise 函数定义为：

$N(x,y,z)$

以此构造出来的 3D 向量场为：

$\vec{F}(x,y,z)=(N(x,y,z),N(x,y,z),N(x,y,z))$

对这个场进行 Curl 操作，得到：

$curl\vec{F}=(\frac{\partial N(x,y,z)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y,z)}{\partial z},\frac{\partial N(x,y,z)}{\partial z}-\frac{\partial N(x,y,z)}{\partial x},\frac{\partial N(x,y,z)}{\partial x}-\frac{\partial N(x,y,z)}{\partial y})$

据此，给出计算 3D Curl Noise 的伪代码：

vec3 computeCurl(float x, float y)
{
    vec3 curl;
    float h = 0.0001f;
    float n, n1, a, b;

    n = N(x, y, z);

    n1 = N(x, y - h, z);
    a = (n - n1) / h;

    n1 = N(x, y, z - h);
    b = (n - n1) / h;
    curl.x = a - b;

    n1 = N(x, y, z - h);
    a = (n - n1) / h;

    n1 = N(x - h, y, z);
    b = (n - n1) / h;
    curl.y = a - b;

    n1 = N(x - h, y, z);
    a = (n - n1) / h;

    n1 = N(x, y - h, z);
    b = (n - n1) / h;
    curl.z = a - b;

    return curl;
}