3D 矩阵旋转

如图，需要将点（向量） v(x, y, 0) 绕 z 轴旋转角度 θ，求旋转后的点（向量） v'(x', y', 0)。

大概思路：

1. 将 v(x, y, 0) 分解， v(x, y, 0) = x * p(1, 0, 0) + y * q(0, 1, 0) + 0 * r(0, 0, 1)   -   r 为 z 轴方向基向量

2. 绕 z 轴旋转基向量 p(1, 0, 0) 为 p'(cos(θ), sin(θ), 0), q(0, 1, 0) 为 q'(cos(90 + θ), sin(90 + θ), 0)

3. 由向量 p' 和 q' 可以表示 v'，即 v'(x', y', 0) = x * p'(cos(θ), sin(θ), 0) + y * q'(cos(90 + θ), sin(90 + θ), 0) + 0 * (0, 0, 1)

 

用公式写一下逻辑：对一个点（向量）v, 可以用基向量表示为

其中，p, q, r 分别表示为 x, y, z 轴上基向量。让 v 绕 z 轴旋转角度 θ，可以表示为

其中 v' 表示旋转后的点（向量）, p' 表示基向量 p 绕 z 轴旋转角度 θ, q' 表示基向量 q 绕 z 轴旋转角度 θ。3D坐标系以右手坐标系为准，即 x轴正方向右，y轴正方向上，z正方向外。p', q' 分别为

最后得到旋转后的点 v' 表示为

最后得到一个点（向量）绕 z 轴旋转的矩阵 M_z 为 

同理可得到绕 x 轴和绕 y 轴的旋转矩阵 M_x 和 M_y 分别为

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