编程之法：面试和算法心得（寻找最小的k个数）
内容全部来自编程之法：面试和算法心得一书，实现是自己写的使用的是java
题目描述
输入n个整数，输出其中最小的k个。
分析与解法
解法一
要求一个序列中最小的k个数，按照惯有的思维方式，则是先对这个序列从小到大排序，然后输出前面的最小的k个数。
至于选取什么的排序方法，我想你可能会第一时间想到快速排序（我们知道，快速排序平均所费时间为n*logn），然后再遍历序列中前k个元素输出即可。因此，总的时间复杂度：O（n * log n)+O(k)=O（n * log n）。
/* * 快速排序法 O(N*logN) * 最简单直接的方法就是快速排序+返回前k个数字 */ public static int[] solution1(int[] arr, int k) { Arrays.sort(arr); int[] result = new int[k]; for (int i = 0; i < k; i++) { result[i] = arr[i]; } return result; }
解法二
咱们再进一步想想，题目没有要求最小的k个数有序，也没要求最后n-k个数有序。既然如此，就没有必要对所有元素进行排序。这时，咱们想到了用选择或交换排序，即：
1、遍历n个数，把最先遍历到的k个数存入到大小为k的数组中，假设它们即是最小的k个数；2、对这k个数，利用选择或交换排序找到这k个元素中的最大值kmax（找最大值需要遍历这k个数，时间复杂度为O（k））；3、继续遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与kmax比较：如果x < kmax ，用x替换kmax，并回到第二步重新找出k个元素的数组中最大元素kmax‘；如果x >= kmax，则继续遍历不更新数组。
每次遍历，更新或不更新数组的所用的时间为O（k）或O（0）。故整趟下来，时间复杂度为n*O（k）=O（n*k）。
/* * 1、遍历n个数，把最先遍历到的k个数存入到大小为k的数组中，假设它们即是最小的k个数； * 2、对这k个数，利用选择或交换排序找到这k个元素中的最大值kmax（找最大值需要遍历这k个数，时间复杂度为O（k））； * 3、继续遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与kmax比较：如果x < kmax ，用x替换kmax，并回到第二步重新找出k个元素的数组中最大元素kmax‘；如果x >= kmax，则继续遍历不更新数组。 */ private static int[] solution2(int[] arr, int k) { chooseSort(arr, k); int[] res = new int[k]; for (int i = 0; i < k; i++) res[i] = arr[i]; return res; } private static void chooseSort(int[] arr, int k) { for (int i = 0; i < k; i++) { int index = i; for (int j = i; j < arr.length; j++) { if (arr[index] > arr[j]) { index = j; } } int temp = arr[index]; arr[index] = arr[i]; arr[i] = temp; } }
解法三
更好的办法是维护容量为k的最大堆，原理跟解法二的方法相似：
- 1、用容量为k的最大堆存储最先遍历到的k个数，同样假设它们即是最小的k个数；
- 2、堆中元素是有序的，令k1<k2<...<kmax（kmax设为最大堆中的最大元素）
- 3、遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与堆顶元素kmax比较：如果x < kmax，用x替换kmax，然后更新堆（用时logk）；否则不更新堆。
这样下来，总的时间复杂度:O（k+（n-k）*logk）=O（n*logk）。此方法得益于堆中进行查找和更新的时间复杂度均为：O(logk)（若使用解法二：在数组中找出最大元素，时间复杂度：O（k））。
解法四
在《数据结构与算法分析--c语言描述》一书，第7章第7.7.6节中，阐述了一种在平均情况下，时间复杂度为O（N）的快速选择算法。如下述文字：
- 选取S中一个元素作为枢纽元v，将集合S-{v}分割成S1和S2，就像快速排序那样如果k <= |S1|，那么第k个最小元素必然在S1中。在这种情况下，返回QuickSelect(S1, k)。如果k = 1 + |S1|，那么枢纽元素就是第k个最小元素，即找到，直接返回它。否则，这第k个最小元素就在S2中，即S2中的第（k - |S1| - 1）个最小元素，我们递归调用并返回QuickSelect(S2, k - |S1| - 1)。
此算法的平均运行时间为O(n)。
/* * 以k为分界的分治排序思想 O(N*logK) */ private static int[] solution3(int[] arr, int k) { int[] res = new int[k]; for (int i = 0; i < k; i++) res[i] = -1; keySort(arr, 0, arr.length - 1, k, res); return res; } private static void keySort(int[] arr, int start, int end, int k, int[] res) { if (start >= end || k <= 0) return; int index = start; int i = start, j = end + 1; while (true) { while (arr[index] > arr[++i]) if (i == end) break; while (arr[index] < arr[--j]) if (j == start) break; if (i >= j) break; int temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp; } int temp = arr[index]; arr[index] = arr[j]; arr[j] = temp; index = j; if (index - start + 1 > k) keySort(arr, start, index - 1, k, res); else { for (i = 0, j = 0; j < index - start + 1; i++) if (res[i] == -1) res[i] = arr[start + (j++)]; if (index - start + 1 == k) return; else keySort(arr, index + 1, end, k - index + start - 1, res); } }
参考
