「从零开始的莫比乌斯反演」0. 序

如题，这是一篇序。

最近两天在学莫比乌斯反演，搜各种博客，搞得很头疼，感觉要学的东西非常多，而且乱。所以写一篇教程，顺便巩固一下知识。

莫比乌斯反演是什么

这个名字咋一看其实挺吓人的，毕竟突然就出现了“莫比乌斯”和“反演”这样两个没听说过而且很高大上的词。莫比乌斯反演是干什么的？举个例子：

例

给定\(n,m\)，求：

\[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} [\operatorname{gcd}(i,j)=1] \]

\([\operatorname{gcd}(i,j) = 1]\)的意思是如果\(i,j\)满足\(\operatorname{gcd}(i,j) = 1\)，就为\(1\)，否则为\(0\)。

对于全部测试点，\(1 \leq n, m \leq 5 \times 10^4\)

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这道题显然是不能暴力枚举的。反演可以把它的复杂度降到\(O(n + T\sqrt{n})\)，其中\(T\)是询问的次数。

莫比乌斯反演能用来解决一些这种数论函数求和的问题。

现在，莫比乌斯反演是不是不那么神秘了？

学习路线

学莫比乌斯反演之前是有一系列的知识要学的。我个人建议是这样的：

线性筛（或其他筛法，至少会一种。建议复杂度不要高于\(O(n)\)）&数论分块 -> 莫比乌斯函数 -> 狄利克雷卷积 -> 莫比乌斯反演

因为学习狄利克雷卷积的时候，了解一些莫比乌斯函数的相关性质会方便很多，所以就把莫比乌斯函数放到前面了。

这些奇怪的名词，看起来很高大上，不过一步一步扎实地学习，你会发现它们并没有那么难。比如狄利克雷卷积。

PS

虽然打算写一系列从零开始的教程，不过我不打算具体讲线性筛。但是线性筛的模版还是会给出的。

虽然说，本系列是想写面向Beginner的教程，但是莫比乌斯反演在数论中并不是很基础的内容，你仍然需要有一些数论的基础知识。