15.04.10-有意思的补码

最近在看《深入理解计算机系统》，学习编程的一些基本的东西，还是觉得很有意思的。

今天看到了补码编码这一节。

最常见的有符号数的计算机表示方式就是补码(two's-complement)形式。在这个定义中，将字的最高有效为解释为负权(negative weight).我们用函数B2T_w(Binary to Two's-complement的缩写，长度为w)来表示。

最高有效位x_w-1也称为符号位，它的"权重"为-2^w-1，是无符号表示中权重的负数。符号位被设置为1时，表示值为负，而当设置为0是，值为非负。

仔细看前面那个公式，尤其是前面的-x_w-12^w-1

那常见的32位整数来看，如果数值为

11111111 11111111 11111111 11111111

= -1*2³¹ + 1*2³⁰ + 1*2²⁹ + 1*2²⁸ +...+ 1*2¹ + 1*2⁰

=-2³¹ + (2³¹ - 1)//不要问这个结果怎么来的，XXX-_-||求和公式....

=-1

那好，其他的呢？

11111111 11100011 11011101 11110011

= -1*2³¹ + 1*2³⁰ +...+ 1*2²¹ + 1*2¹⁷ +...+ 1*2¹⁴ + 1*2¹²  + 1*2¹¹ + 1*2¹⁰ + 1*2⁸+...+ 1*2⁴+ 1*2¹+  1*2⁰//少了2/3/9/13/18/19/20

= -1*2³¹ + (1*2³⁰ + 1*2²⁹ + 1*2²⁸ +...+ 1*2¹ + 1*2⁰) - 2² - 2³  - 2⁹ - 2¹³ - 2¹⁸ - 2¹⁹ - 2²⁰ 

=-2³¹ + (2³¹ - 1) - 2² - 2³  - 2⁹ - 2¹³ - 2¹⁸ - 2¹⁹ - 2²⁰ 

=- 1 - 2² - 2³  - 2⁹ - 2¹³ - 2¹⁸ - 2¹⁹ - 2²⁰ 

看到这里是不是想起了什么了？

对了，就是常用的负数的二进制表达式的写法。

37(int32)的二进制表达式为 00000000 00000000 00000000 00100101

-37的写法呢：

首先反码：11111111 11111111 11111111 11011010，值是多少？

11111111 11111111 11111111 11011010 = -1 - 2⁰ - 2²  - 2⁵ = -37-1

所以在反码的基础上，我们还要+1，才能得到-37的二进制码：

11111111 11111111 11111111 11011011 = -1 - 2²  - 2⁵ = -37

 

关于负数的二进制表达式，刚看到补码非运算时看到另一个方法。

先说补码非：

上面的非可以理解成我们常说的负值。最后的公式可以看出，如果值为w位的最小值-2^w-1，那么他的负数(求非)值为本身，其它的情况则为*-1的结果。

计算一个位级表示的值的补码非有几种聪明的方法。

1.对每一位求补，再对结果加1.(也就是我们常见的写负数的二进制表达式的方法。)

2.第二种方法是建立在将位向量分为两部分的基础之上。假设k是最右边的1的位置，从左至右，将位级表达式分为两部分，[x_w-1,x_w-2,...,x_k+1]和[1,0,...,0]。值的非写成二进制格式就是前半部分[~x_w-1,~x_w-2,...,~x_k+1]和[1,0,...,0]，合起来就是[~x_w-1,~x_w-2,...,~x_k+1,1,0,...,0]。也就是说从最右边的1往左(不包含这个1)所有位取反。

验证:

1100(-4) ---> 0100(4)

1000(-8) ---> 1000(-8)

0101(5)  ---> 1011(-5)

0111(7)  ---> 1001(-7)

32位：00000000 00000000 00110100 11101011(26859)

求非： 11111111 11111111 11001011 00010101(-26859)