蒙哥马利算法

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蒙哥马利算法

这篇文章为大家梳理一下整个蒙哥马利算法的本质，蒙哥马利算法并不是一个独立的算法，而是三个相互独立又相互联系的算法集合，其中包括

• 蒙哥马利乘模，是用来计算\(x\cdot y\ (mod\ N)\)
• 蒙哥马利约减，是用来计算\(t\cdot \rho^{-1}\ (mod\ N)\)
• 蒙哥马利幂模，是用来计算\(x^y\ (mod\ N)\)

其中蒙哥马利幂乘是RSA加密算法的核心部分。

基本概念

梳理几个概念，试想一个集合是整数模N之后得到的\(Z_N=\left\{0,1,2,\cdots,N-1\right\}\)

注：N在base-b进制下有\(l_N\)位。 比如10进制和100进制，都属于base-10进制，因为\(100=10^2\)，所以b=10。在10进制下，667的\(l_N=3\)

这样的集合叫做N的剩余类环，任何属于这个集合Z的x满足以下两个条件：

1. 正整数
2. 最大长度是\(l_N\)

这篇文章中讲到的蒙哥马利算法就是用来计算基于\(Z_N\)集合上的运算，简单讲一下原因，因为RSA是基于大数运算的，通常是1024bit或2048bit，而我们的计算机不可能存储完整的大数，因为占空间太大，而且也没必要。因此，这种基于大数运算的加密体系在计算的时候都是基于\(Z_N\)集合的，自然，蒙哥马利算法也是基于\(Z_N\)。

在剩余类环上，有两种重要的运算，一类是简单运算，也就是加法和减法，另一类复杂运算，也就是乘法。我们比较熟悉的是自然数集上的运算，下面看下怎么从自然数集的运算演变成剩余类环上的运算。

对于加法运算，如果计算\(x\pm y\ (mod\ N)\),\(0\leqslant x,y\)，试想自然数集上的 \(x\pm y\)

\[\qquad 0\leqslant x+y\leqslant 2\cdot(N-1) \\ -(N-1)\leqslant x-y\leqslant (N-1) \]

我们可以简单的通过加减N来实现从自然数到剩余类集的转换

另外一类是乘法操作，也就是\(x\cdot y\ (mod\ N)\),\(0\leqslant x,y\)，那么

\[0\leqslant x\cdot y\leqslant (N-1)^2 \]

如果在自然数集下，令\(t=x\cdot y\)，那么对于\(\mod N\)我们需要计算

\[t-（N\cdot \lfloor\frac{t}{N}\rfloor） \]

加减操作很简单，具体的算这里就不细说了，我们用\(Z_N-ADD\)来代表剩余类环上的加法操作。既然我们可以做加法操作，那么我们就可以扩展到乘法操作，算法如下

但是这并不是一个好的解决方案，因为通常来说，我们不会直接做w位乘w位的操作，这个后面会用蒙哥马利的乘法来代替解决。

对于取模操作，一般有以下几种方法

1. 根据以下公式，来计算取模操作

\[t-（N\cdot \lfloor\frac{t}{N}\rfloor） \]

• 整个计算过程是基于标准的数字表示
• 不需要预计算（也就是提前计算一些变量，以备使用）
• 涉及到一个除法操作，非常费时和复杂

2. 用Barrett reduction算法，这篇文章不细说，但是有以下特征

• 基于标准的数字表示
• 不需要预计算
• 需要\(2 \cdot (l_N+1) \cdot (l_N+1)\)次数乘运算

3. 用蒙哥马利约减，也就是下面要讲的算法，有以下特征

• 不是基于标准的数字表示（后文中有提到，是基于蒙哥马利表示法）
• 需要预计算
• 需要\(2 \cdot (l_N) \cdot (l_N)\)次数乘运算

蒙哥马利预备知识

在将蒙哥马利算法之前，先看一下在自然数下的乘法公式

计算\(x\cdot y\)，想象一下我们常用的计算乘法的方法，用乘数的每一位乘上被乘数，然后把得到的结果相加，总结成公式，可以写成如下的形式。

\[x\cdot y=x\cdot sum_{i=0}^{l_y-1}y_i \cdot b^i\\ \qquad=sum_{i=0}^{l_y-1}y_i \cdot x \cdot b^i \]

尝试下面一个例子，10进制下（也就是b=10），y=456（也就是\(l_n=3\)），计算\(x\cdot y\)，公式可演变如下：

\[x\cdot y=(y_{0}\cdot x\cdot 10^{0})+(y_{1}\cdot x\cdot 10^{1})+(y_{2}\cdot x\cdot 10^{2})\\ \qquad=(y_{0}\cdot x\cdot 0)+(y_{1}\cdot x\cdot 10)+(y_{2}\cdot x\cdot 100)\\ \qquad=(y_{0}\cdot x)+10\cdot(y_{1}\cdot x+10\cdot(y_{2}\cdot x\cdot +10\cdot(0))) \]

最后一次演变其实就是用霍纳法则(Horner’s rule)所讲的规则，关于霍纳法则，可以自行百度。

这个计算过程写成代码实现的算法应该是这样的：

接下来我们来看下面这样的计算，计算(x⋅y)/1000(x⋅y)/1000，由前面可以知道

\[x\cdot y=(y_{0}\cdot x)+10\cdot(y_{1}\cdot x+10\cdot(y_{2}\cdot x\cdot +10\cdot(0))) \]

由此可以知道：

\[\frac{x\cdot y}{1000}=\frac{(y_{0}\cdot x\cdot 10^{0})+(y_{1}\cdot x\cdot 10^{1})+(y_{2}\cdot x\cdot 10^{2})}{1000}\\ \qquad=\frac{(y_{0}\cdot x\cdot 0)+(y_{1}\cdot x\cdot 10)+(y_{2}\cdot x\cdot 100)}{1000}\\ \qquad=\frac{(y_{0}\cdot x)}{1000}+\frac{(y_{1}\cdot x)}{100}+\frac{(y_{2}\cdot x)}{10}\\ \qquad=(((((y_0\cdot x)/10)+y_1\cdot x)/10)+y_2\cdot x)/10 \]

这个计算过程写成代码实现的算法是这样的：

接下来我们再来看在剩余类集合下的乘法操作 \(x\cdot y/1000\ (mod\ 667)\)

我们知道剩余类集合\(Z_{667}=\left\{0,1 \cdots 666\right\}\)，是不存在小数的，而如果我们采用自然数集的计算方式的话，就会出现小数，比如前面的例子，除10就会有小数。

这个问题是这样的，我们知道\(u·667 \equiv 0 (mod 667)\)（≡表示取模相等），所以我们可以选择一个合适的u，用u乘667再加上r，使得和是一个可以除10没有小数，这样在mod 667之后依然是正确的结果。至于u怎么算出来，这篇文章会在后面的章节说明。

这个过程之后\(x\cdot y/1000\ (mod\ 667)\) 的计算算法可以写成如下的形式

至此，你可能还不明白上面说这一堆演变的原因，其实很简单，原来是一个\((x\cdot y)\ (mod\ 667)\)的运算，这个运算中的模操作，正常情况下是要通过除法实现的，而除法是一个特别复杂的运算，要涉及到很多乘法，所以在大数运算时，我们要尽量避免除法的出现。而通过以上几个步骤，我们发现\((x\cdot y)/1000\ (mod\ 667)\)这个操作是不用除法的。等等，算法中明明有个除10的操作，你骗谁呢。不知道你有没有发现，除数其实是我们的进制数，除进制数在计算机中是怎么做呢，其实很简单，左移操作就ok了。所以这个计算方法是不涉及到除法操作的。

但是我们要计算的明明是\((x_1\cdot y_1)\ (mod\ 667)\)，怎么现在变成了\((x_2\cdot y_2)/1000\ (mod\ 667)\)，所以在下一步，我们要思考的是怎么样让\((x_1\cdot y_1)\ (mod\ 667)\)转变成\((x_2\cdot y_2)/1000\ (mod\ 667)\)这种形式。

考虑这样两个算法

• 第一个是输入x和y，计算\(x \cdot y \cdot \rho^{-1}\)
• 第二个算法，输入一个t，计算\(t \cdot \rho^{-1}\)。

\[x\cdot y\ (mod\ 667)=((x\cdot1000)\cdot(y\cdot1000)/1000)/1000\ (mod\ 667) \]

是不是变成了我们需要的\((x\cdot y)/1000\ (mod\ 667)\)模式，而且这个转变过程是不是可以通过上面两个算法来实现，输入值如果是\((x\cdot1000)\)和\((y\cdot1000)\)，则通过第一个算法可以得到\(((x\cdot1000)\cdot(y\cdot1000)/1000)\)，把结果作为第二个算法的输入值，则通过第二个算法可以得到\(((x\cdot1000)\cdot(y\cdot1000)/1000)/1000\)。

扯了一大顿，终于引出了今天文章的主角，前面讲到的两个算法，第一个就是蒙哥马利乘模，第二个就是蒙哥马利约减。下面我们来讲这两个算法的详解。

正如前面提到的蒙哥马利算法的三个特性之一是，不是基于普通的整数表示法，而是基于蒙哥马利表示法。什么是蒙哥马利表示法呢，其实也很简单，上面我们提到，要让\((x_1\cdot y_1)\ (mod\ 667)\)转变成\((x_2\cdot y_2)/1000\ (mod\ 667)\)这种形式，我们需要将输入参数变成\((x\cdot1000)\)和\((y\cdot1000)\)，而不是x和y本身，而\(((x\cdot1000)\cdot(y\cdot1000)/1000)/1000\) 其实就是蒙哥马利表示法。

所以我们先定义几个概念：

• 蒙哥马利参数
  给定一个N，N在b进制（例如，二进制时，b=2）下共有l位，\(gcd(N,b)=1\)，先预计算以下几个值(这就是前面提到的特性之一，需要预计算）：

• \(\rho = b^k\) 指定一个最小的k，使得\(b^k>N\)

  \(\omega = -N^{-1} (mod\ \rho)\)
  这两个参数是做什么用的呢，你对照前面的演变过程可以猜到\(\rho\)就是前面演变中的1000，而\(\omega\)则是用来计算前面提到的u的。

• 蒙哥马利表示法
  对于x，\(0\leqslant x\leqslant N-1\)，x的蒙哥马利表示法表示为\(x=x\cdot \rho\ (mod\ N)\)

蒙哥马利约减

蒙哥马利约减的定义如下

给定一整数t，蒙哥马利约减的计算结果是\(t\cdot \rho^{-1}\ (mod\ N)\)

蒙哥马利约减的算法可表示为

蒙哥马利约减可以算作是下面要说的蒙哥马利模乘当\(x=1\)时的一种特殊形式，。同时它又是蒙哥马利乘模要用到的一部分，这在下一部分讲蒙哥马利乘模的时候有讲到。

蒙哥马利约减可以用来计算某个值得取模操作，比如我们要计算\(m(mod\ N)\)，只需要将m的蒙哥马利表示法\(m\cdot \rho\)作为参数，带入蒙哥马利约减，则计算结果就\(m(mod\ N)\)。

蒙哥马利乘模

一个蒙哥马利乘模包括整数乘法和蒙哥马利约减，现在我们有蒙哥马利表示法：

\[\hat{x}=x\cdot\rho\ (mod\ N)\\ \hat{y}=y\cdot\rho\ (mod\ N) \]

它们相乘的结果是

\[t=\hat{x}\cdot\hat{y}\\ \ =(x\cdot\rho)\cdot(y\cdot\rho)\\ \ =(x\cdot y)\cdot\rho^2 \]

最后，用一次蒙哥马利约减得到结果

\[\hat{t}=(x \cdot y) \cdot \rho\ (mod\ N) \]

上面我们可以看出，给出的输入参数是\(\hat{x}\) 和\(\hat{y}\)， 得到的结果是\((x \cdot y) \cdot \rho\ (mod\ N)\)，所以蒙哥马利乘法也可以写成如下形式，已知输入参数x和y，蒙哥马利乘法是计算\((x \cdot y) \cdot \rho ^ {-1}\ (mod\ N)\)

举个例子：

b=10，也就是说在10进制下，N=667

让\(b^k>N\)的最小的k是3，所以\(\rho=b^k=10^3=1000\)

\(\omega=-N^{-1}\ (mod\ \rho)=-667^{-1}\ (mod\ \rho)=997\)

因为\(x=421\)，所以\(\hat{x}=x\cdot\rho(mod\ N)=421\cdot1000(mod\ 667)=123\)

因为\(y=422\)，所以\(\hat{y}=y\cdot\rho(mod\ N)=422\cdot1000(mod\ 667)=456\)

所以计算\(\hat{x}\) 和\(\hat{y}\)蒙哥马利乘结果是

\[\hat{x}\cdot\hat{y}\cdot\rho^{-1}=(421\cdot1000\cdot422\cdot1000)\cdot1000^{-1}\ (mod\ 667)\\ \qquad\qquad=(421\cdot422)\cdot1000\ (mod\ 667)\\ \qquad\qquad=(240)\cdot1000\ (mod\ 667)\\ \qquad\qquad=547\ (mod\ 667) \]

然后总结一下蒙哥马利约减和蒙哥马利乘法的伪代码实现，这个算法其实就是从蒙哥马利预备知识讲到的算法演变来的。

上面的例子用这个算法可以描述为

蒙哥马利算法是一套很完美的算法，为什么这么说呢，你看一开始已知\(x\)，我们要求\(\hat{x}=x \cdot \rho\)，这个过程可以通过蒙哥马利乘法本身来计算，输入参数\(x\)和\(\rho^2\)，计算结果就是\(\hat{x}=x \cdot \rho\)。然后在最后，我们知道\(\hat{x}=x \cdot \rho\)，要求得\(x\)的时候，同样可以通过蒙哥马利算法本身计算，输入参数\(\hat{x}\)和\(1\)，计算结果就是\(x\)。有没有一种因就是果，果就是因的感觉，这就是为什么说蒙哥马利算法是一套很完美的算法。

蒙哥马利幂模

最后，才说到我们最开始提到的RSA的核心幂模运算，先来看一下普通幂运算的算法是怎么得出来的。

以下资料来自于百度百科
针对快速模幂运算这一课题，西方现代数学家提出了大量的解决方案，通常都是先将幂模运算转化为乘模运算。
例如求D=C^15%N
由于：ab % n = (a % n)(b % n) % n
所以令：
C1 =C*C % N =C^2 % N
C2 =C1*C % N =C^3 % N
C3 =C2*C2 % N =C^6 % N
C4 =C3*C % N =C^7 % N
C5 =C4*C4 % N =C^14 % N
C6 =C5*C % N =C^15 % N
即：对于E=15的幂模运算可分解为6 个乘模运算，归纳分析以上方法可以发现：
对于任意指数E，都可采用以下算法计算D=C**E % N：
D=1
WHILE E>0
IF E%2=0
C=C*C % N
E=E/2
ELSE
D=D*C % N
E=E-1
RETURN D
继续分析会发现，要知道E 何时能整除 2，并不需要反复进行减一或除二的操作，只需验证E 的二进制各位是0 还是1 就可以了，从左至右或从右至左验证都可以，从左至右会更简洁，
设E=Sum[i=0 to n](E*2**i)，0<=E<=1
则：
D=1
FOR i=n TO 0
D=D*D % N
IF E=1
D=D*C % N
RETURN D这样，模幂运算就转化成了一系列的模乘运算。

算法可以写成如下的形式

如果我们现在用蒙哥马利样式稍作改变，就可以变成如下的形式：

以上就是蒙哥马利算法的全部，通过蒙哥马利算法中的约减运算，我们将大数运算中的模运算变成了移位操作，极大地提高了大数模乘的效率。

但是在以上的算法，可以发现还有两个变量的计算方式不是很清楚，一个是\(\omega\)，前面说过\(\omega = -N^{-1} (mod\ b)\) ，其实在算法中，我们看到，\(\omega\)仅仅被用来做\(mod\ b\)操作，所以事实上，我们只需要计算\(mod\ b\)即可。

尽管N有可能是合数（因为两个素数的乘积不一定是素数），但通常N和\(\rho\)（也就是N和b）是互质的，也就是说\(N^{\phi(b)}=1(mob\ b)\)(费马定理)，\(N^{\phi(b)-1}=N^{-1}(mob\ b)\),因为\(b=2^\omega\)，所以\(\phi(b)=2^{(\omega-1)}\)，写成算法是这样的

还有一个参数是\(\rho^2\)，还记得前面说过\(\rho\)是怎么得出来吗，选定一个最小的\(k\)，使得\(b^k>N\)，我们还知道\(N\)在\(b\)进制下是\(l_N\)位，所以当\(k=l_N\)的时候肯定是符合要求。

\(b=2^{\omega}\) 所以\(\rho=b^k=({2^{\omega}})^k\)

\(\rho^2={({2^w})^k)}^2=2^{2\cdot k\cdot \omega}=2^{2\cdot l_N\cdot \omega}\)，算法如下

至此整个蒙哥马利算法就全部说完了。通过这个算法，我们可以实现快速幂模。