概率dp小结
好久之前学过,记得是一次亚洲区的前几天看了看概率dp,然后亚洲区就出了一道概率dp,当时虽然做上了,但是感觉有很多地方没懂,今天起早温习了一下,觉得很多地方茅塞顿开,果然学习的话早上效果最好了。
首先来看一道最基础概率dp
题意是,有一个软件,有s个子系统,会产生n种bug。
某个程序员一天能发现一个bug,这个bug是这n种bug中的一种,然后发生在某个子系统中。
问,找到所有的n种bug,且每个子系统都找到bug,这样所要的天数,的期望。
期望,可以分解成多个子期望的加权和,权为子期望发生的概率
所以: 我首先想到了一个这样的公式dp[x][y] = dp[x][y]*p1+dp[x-1][y-1]*p2+dp[x][y-1]*p3+dp[x-1][y]*p4
dp[x][y]代表已经有x种bug并且有y个系统至少有一个bug的期望值
我们知道他是从自身以及他的前几种状态推导过来,乍一看这个公式应该是对的,但是dp[n][m]会无穷大,因为他的期望是没有停止状态的,也就是题意要求的应该是到达n,m状态时停止。
那么我们又可以从倒推的角度去考虑这个问题,dp[x][y]表示的是已经有x种bug并且有y个系统至少有一种bug的时候还需要多少步能够到达dp[n][m]的状态。
那么公式又变成了这样dp[x][y] = dp[x+1][y+1]*p1+dp[x+1][y]*p2+dp[x][y+1]*p3+dp[x][y]*p4+1
也就是dp[x][y] = dp[x+1][y+1] *(n-x)*(m-y)/n/m+dp[x+1][y]*(n-x)*y/n/m+dp[x][y+1]*x*(m-y)/n/m+dp[x][y]*x*y/n/m+1
将dp[x][y]合并得dp[x][y](1-x*y/n/m) = dp[x+1][y+1] *(n-x)*(m-y)/n/m+dp[x+1][y]*(n-x)*y/n/m+dp[x][y+1]*x*(m-y)/n/m+1
1.poj2096,就是上面的题
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<stdio.h> #include<string.h> #include<iostream> using namespace std; double dp[1004][1004]; int main(){ int n, m; scanf("%d%d", &n, &m); for(int i =0 ;i <= n+1; i++){ for(int k = 0; k <= m+1; k++){ dp[i][k]= 0; } } for(int x = n; x >= 0; x--){ for(int y = m; y >=0; y--){ if(x == n && y ==m)dp[x][y] = 0; else dp[x][y]= (1+dp[x+1][y+1] *(n-x)*(m-y)/n/m+dp[x+1][y]*(n-x)*y/n/m+dp[x][y+1]*x*(m-y)/n/m)/(1.0-1.0*x*y/n/m); } } printf("%.4f\n", dp[0][0]); }
2.
公式神马的好推,写的时候稍微费劲了点
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<iostream> #include<stdio.h> #include<string.h> using namespace std; double dp[15][15][15][15][5][5]; int main(){ int t; scanf("%d", &t); int cas = 1; while(t--){ int a, b, c, d; scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d); int aa = 0; if(a > 13) aa += 13-a; if(b > 13) aa += 13-b; if(c > 13) aa += 13 - c; if(d > 13) aa += 13 - d; if(aa < -2){ printf("Case %d: %.3f\n", cas++, -1.0);//printf("000"); continue; } for(int i = 13; i >= 0; i--){ for(int k = 13; k >= 0;k --){ for(int j = 13; j >= 0; j--){ for(int h = 13; h >= 0; h--){ for(int x = 4; x >= 0; x--){ for(int y = 4; y >= 0; y--){ int aa = i, bb = k, cc = j, dd = h; if(x == 1) aa++; if(x == 2) bb ++; if(x == 3) cc++; if(x == 4) dd++; if(y == 1) aa++; if(y==2) bb++; if(y == 3) cc++; if(y == 4) dd++; int tot = 54 - aa - bb - cc- dd; if(aa >= a && bb >= b && cc >= c && dd >= d){ dp[i][k][j][h][x][y] = 0;continue; }else if(tot == 0){ dp[i][k][j][h][x][y] = 10000000000;continue; } double uu = 0; int ss = 0; //kexuanwangpai if(!x) ss ++; if(!y) ss ++; dp[i][k][j][h][x][y] = 1; if(!x){ uu = min(min(min(dp[i][k][j][h][1][y], dp[i][k][j][h][2][y]), dp[i][k][j][h][3][y]), dp[i][k][j][h][4][y]); //if(i+k+j+h == 52 && x == 0 && y == 0) printf("%.3lf %.3lf-----------\n", uu,ss*1.0/tot*uu); dp[i][k][j][h][x][y] += ss*1.0/tot*uu; } else if(!y){ uu = min(min(min(dp[i][k][j][h][x][1],dp[i][k][j][h][x][2]),dp[i][k][j][h][x][3]), dp[i][k][j][h][x][4]); dp[i][k][j][h][x][y] += ss * 1.0/tot*uu; } uu = 0; if(i < 13){ uu += dp[i+1][k][j][h][x][y]*(13-i)/tot; } if(k < 13) uu +=dp[i][k+1][j][h][x][y] * (13-k)/tot; if(j < 13) uu += dp[i][k][j+1][h][x][y] *(13 - j)/tot; if(h < 13) uu += dp[i][k][j][h+1][x][y] * (13 - h)/tot; dp[i][k][j][h][x][y] += uu; } } } } } } //printf("%.3lf\n", dp[13][13][13][13][0][0]); printf("Case %d: %.3f\n", cas++, dp[0][0][0][0][0][0]); } }