poj 1061

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

 解法：扩展欧几里得。(需要注意的是，这里向西代表速度是负的。也即相当于将两个青蛙的速度调换。)

设所需步数为t，在j点两青蛙相遇，我们可以列出如下两个同余模方程：

X + nt ≡ j（mod l）

y + mt = j(mod l）

两方程联立，我们可以得到如下方程(x-y) + (n-m)t ≡ 0(mod l)

也即(n-m)t + kl =  x - y;

根据同余模方程的特性，我们知道的是x-y必须是gcd(n-m,l)的整数倍的时候方程才有解(不是的话输出Impossible）

我们学的扩展欧几里得只能求逆元，也即(n-m)必须处于模l乘法群中，即gcd(n-m, l)必须等于一。

此时，只要将方程两边同时除以gcd(n-m, l)。

将t解出来，输出t*(x-y)/gcd(n-m, l)(mod l/gcd(n-m, l);

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long ex_gcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){
    if(b == 0){
        x = 1, y= 0;
        return a;
    }else{
        long long r = ex_gcd(b, a% b, y, x);
        y -= x*(a/b);
        return r;
    }
}
long long mmod(long long x, long long n){
    while(x < 0){
        x += n;
    }
    return x % n;
}
int main(){
    //freopen("in.cpp", "r", stdin);
    //freopen("out.cpp", "w", stdout);
    long long x, y, m, n, l;
    while(cin>>x>>y>>n>>m>>l){
        long long A = mmod(m-n, l);           //速度差
        long long B = l;                      //圆周长
        long long C = mmod(x-y, l);           //位移
        if(C % __gcd(A, B)){
            printf("Impossible\n");
            continue;
        }
        long long cc = __gcd(A, B);
        C /= cc,A /= cc,B /= cc;
        long long X, Y;
        ex_gcd(A, B, X, Y);
        cout<<mmod(X*C, B)<<endl;;
    }
}
/*
1 2 2 2 4
*/