B-spline Curves: Moving Control Points
本博客转自前人的博客的翻译版本，前几章节是原来博主的翻译内容，但是后续章节博主不在提供翻译，后续章节我在完成相关的翻译学习。
（原来博客网址：http://blog.csdn.net/tuqu/article/details/4749586）
原来的博主翻译还是很好的，所以前几章节直接借鉴参考原博主的内容。
B-样条曲线：移动控制点
移动控制点是改变B-样条曲线形状的最明显的方法。在前面页讨论的局部修改方案说明了修改控制点 Pi 的位置仅影响在区间[ui, ui+p+1)上的曲线 C(u) 。其中 p 是B-样条曲线的次数。实际上，形状的改变是在控制点被移动方向上的 t平移 。更准确地，如果控制点Pi向某个方向移动到一个新位置Qi ，那么点C(u)，其中 u 在[ui, ui+p+1)上，会以相同方向从Pi 移动到 Qi。 但是，移动的距离点与点之间是不同的。下图中，控制点 P4 从左图位置移到中图新位置最后到右图最终位置。可看到那些对应节点的点（小三角标记）也以相同方向移动。
让我们看些细节。假设C(u) 是一个给定的p 次B-样条曲线定义如下：
设控制点 Pi 被移动到一个新位置Pi + v. 。那么，新 p 次B-样条曲线 D(u)如下：
因此，新曲线D(u)是简单的原始曲线C(u)的和以及一个平移向量Ni,p(u)v。 因为 Ni,p(u)在区间 [ui,ui+p+1)上非零，如果u 不在该区间，这个“平移”项为零。因此，移动一个控制点仅影响给定曲线部分形状。 下面左曲线是个由13个控制点 control points (即， n = 12)和18个节点(即， m = 17)定义的4次 (即， p = 4)B-样条曲线 。这些18个节点都是简单的并定义了一个clamped曲线(即，u0 = u1 = u2 = u3 = u4 = 0 和 u13 = u14 = u15 = u16 = u17 = 1)。剩余的节点定义了9个节点区间，因此如图所示有9个曲线段。这9个节点区间和曲线段命名如下：
现在让我们移动 P6。结果显示在上面右图。如你们所看到的，曲线以同样方向移动。P6 的系数是 N6,4(u), 其在[u6, u11)上非零。因此，移动 P6 影响曲线段3, 4, 5, 6 和7。曲线段1, 2, 8和9不受影响。
来自强凸包性质的有用结果
回忆 强凸包性质，如果u位于 [ui,ui+1)，那么 C(u) 位于由控制点Pi, Pi-1, ..., Pi-p+1, Pi-p定义的凸包内。这有助于帮助我们进行下列设计任务：
如果 u 位于节点区间 [ui,ui+1)上，那么C(u) 位于由 p+1个控制点Pi, Pi-1, ..., Pi-p+1, Pi-p定义的凸包内。因为这对所有在该区间的u 都成立，所以在该节点区间的曲线段完全位于该凸包内。如果所有这些 p+1 个控制点是共线的(即，在一条直线上)，凸包退化到线段，它所包含的曲线段也是如此。 结果，在节点区间 [ui,ui+1)上的曲线段变成了直线段。注意在这个情况下只有这个曲线段变成了直线段。其他曲线段仍然是非线性的。
让我们来看一个例子。上面的图由 n = 15 (即，16个控制点), p = 3 (次数为3) 和m = 19 (即，20个节点)。注意头四个和最后四个节点是clamped。图 (a)是给定的B-样条曲线。 让我们使得P9, P8, P7 和P6 共线。因此，在 [u9,u10)上的曲线段位于由 P9, P8, P7 和P6定义的凸包内。 因为这个凸包是直线段，所以曲线段也必须是直线段。记住头四个节点是clamped因此头三个节点区间不存在。因为[u9,u10)是第7个节点区间，第7段退化为直线段P7P8。这通过图 (b), (c) 和 (d)说明。
但是，为什么在 [u9,u10)上的曲线段只退化到曲线段? 看图(b)。阴影部分区域是 u 刚要进入enters [u9,u10)前的凸包。这个凸包由控制点 P8, P7, P6 和 P5定义，其还不是一条直线段。 一旦 u 进入[u9,u10)，曲线段退化 (图 (c)).在u 离开[u9,u10)的同时，出现了一个新的凸包(图(d))。
图 (e) 有 P5 及其四个后继共线。该曲线包含多于一个直线段。 图 (f) 有 P10 和它的5个后继共线；但是，它被移动到P8 和 P9之间的位置。这导致相应曲线段的部分成为一条直线（为什么？）
（2）强制B-样条曲线经过一个控制点：让p个相邻控制点重合（identical ）
考虑控制点Pi。因为在节点区间 [ui, ui+1)上的曲线段完全位于由Pi, ..., Pi-p+1,Pi-p定义的凸包内，如果我们使得前p 个控制点重合(即， Pi = Pi-1 = ... = Pi-p+1)，凸包退化为一条直线段, Pi-pPi 而曲线必经过Pi。
上面左图的曲线是3次的。如果 P5 移到与 P6重合，曲线也移动更接近 P6 但还没有经过它。这如中图所示。注意曲线段的数目没有因为这个移动而改变；但是 P5 附近的小三角标记移动到更接近 P6。 如果 P4 被移到与P6 = P5 重合，曲线经过P6 且对应于节点的点因为移动而与控制点P4 重合。
（3） 强制B-样条曲线与控制折线的一边相切：让Pi-p, Pi-p+1 = Pi-p+2 = .... = Pi-1 = Pi 及Pi+1 共线
上面将 p 个相邻控制点重合。在那个控制点上，连续性是C0 因为曲线有一个尖头（见上面右图）。 但是，一个B-样条曲线在简单节点上是 Cp-1 在其他空间是无限可微的，在边Pi-pPi 上的控制点 Pi 上的曲线是Cp-1 连续的（退化控制点重新编号为i）而在边PiPi+1 上的控制点Pi 也是 Cp-1 连续的。因此，如果我们使得 Pi-p, Pi 和 Pi+1 共线，只要两个相邻曲线段在该节点上没有尖头，它们在 Pi是Cp-1 连续的。
在上面图中，曲线的次数是 2。如果我们使得控制点2, 3, 4 和 5 共线而 3 和 4 重合，我们得到右图。共线保证了曲线段位于直线上而重合控制点强制 C3-1 = C2 连续。
B-spline Curves: Modifying Knots
B-样条曲线：修改节点
因为B-样条曲线是许多曲线段的组合，每个定义于一个节点区间上，修改一个或多个节点位置会改变相应的曲线段和节点区间，因此改变曲线的形状。
下图描述了修改一个单节点的效果。它是一个6次B-样条曲线，有17个节点，最前7个和最后7个在端点上是clamped，而内部节点是0.25, 0.5 和 0.75。初始曲线在左图显示。如果节点0.25 移动到0.1，曲线的形状改变，原来的C(0.25)向下移动到一个新位置。如果节点0.5移动到 0.1使得节点0.1变成一个双重节点 (重复度2)，曲线的形状移动到左边；但是C(0.1) 向上移动到接近原始点(即，原来的 C(0.25))的位置。结果显示在右图。尽管我们在 0.1 有一个双重节点以及在0.75另一个节点非均匀地将定义域[0,1] 划分成三个节点区间，B-样条曲线被它们相应点几乎均匀地划分。
下图显示了三条曲线的形状的改变，每个由 10 (n=9)个控制点定义，次数是6。它们内部节点向量是 (0.25,0.5,0.75) - 红色曲线， (0.25,0.25,0.75) - 蓝色曲线， (0.25,0.25,0.25) -黑色曲线。
实际经验告诉我们修改节点位置不仅不可预测而且不令人满意。更准确地说，因为不清楚B-样条曲线会对节点向量的改变作怎样的反应，通过改变节点来修改B-样条曲线 通常都不令人满意而且很难达到设计目的。
多重节点对产生期望的结果有帮助。回忆前面讨论的多重节点的性质，增加一个内部节点的重复度会减小在该节点的非零基函数的数目。实际上，如果该节点的重复度是 k, 最多在该节点上有 p - k + 1 个非零函数。而且，在该节点的基函数是Cp-k 连续的。
假设一个节点有重复度 p-k,在该节点上有k+1 个非零基函数且曲线上的相应点位于由控制点（与那些非零基函数相对应）定义的凸包内。如果 k = p - 1, 有两个非零函数而相应的凸包是直线段。
如果 k = p, 只有一个非零基函数在该节点上，只有一个控制点有非零系数。结果，曲线通过该点。
上面图 (a)，显示了一个5次B-样条曲线，相对应于标记的节点点的节点移动到它前面的节点，构建了一个重复度2的节点。结果在图 (b), 其与原始图没有太大差别。然后，下一个节点 (用矩形框标记)也被移动到产生的节点 ，构建了一个重复度3的节点。产生的曲线朝控制折线的一条边移动。再移动一个节点构建一个重复度4的新节点。这使得相应的点（椭圆标记）位于一条边上。最 后，仅剩的一个节点移到与其它节点结合起来。由于它的重复度是5而 p=5, 只有一个非零系数因此使得曲线通过该控制点。如图(e)所示，该控制点是P5 。
