树——树、二叉树、哈夫曼树的性质

树与二叉树

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>树

树的基本术语

• 祖先：根A到结点D的唯一路径上的任意结点都可称为结点D的祖先。
• 双亲：相对于孩子在其上一级。
• 分支结点：度大于0的结点。
• 叶子结点：度等于0的结点。
• 兄弟：有相同双亲的结点。

树的存储结构

• 双亲表示法

• 孩子表示法

• 孩子兄弟表示法

  • 任意一棵树都能通过孩子兄弟表示法转换为二叉树进行存储。

• 顺序存储表示法

定义

1. 结点的层数从树根开始定义，根结点为第1层，它的子结点为第2层。

2. 结点的深度是从根结点开始自顶向下逐层累加。

3. 结点的高度是从叶结点开始自底向上逐层累加。

   树的高度等于结点的最大层数

树的重要性质

• 树中的结点数等于 所有结点的度数之和 + 1

• 高度为k的m叉树最多有(m ^k - 1) / (m - 1)个结点

>二叉树

• 二叉树的通用公式

  n₀=n₂+1 (n₀表示度为0的结点个数、n₂表示度为2的结点个数)

  n_总=n₀+n₁+n₂=2n₂+n₁+1 (二叉树中n₁一般为0、*除了完全二叉树)

• 满二叉树

  • 一颗高度为h，且含有2^h-1个结点的二叉树称为满二叉树，即树中的每层都含有最多的结点。

  • 对满二叉树按层序编号：约定编号从根结点起，自上而下，自左而右。

    • 这样，每个结点对应一个编号，对于编号为i的结点，若有双亲，则其双亲为i/2，若有左孩子，则左孩子为2i；若有右孩子，则右孩子为2i+1。

  • 满m叉树第k层的结点数为m^k-1

• 完全二叉树

  • 一颗高度为h，且含有n个结点，每个结点编号与满二叉树中的编号一一对应称为完全二叉树。

  • 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现。对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在该层最左边的位置上。

  • 若有度为1的结点，则只可能有一个，且该结点只有 左孩子 而无右孩子。

  • 按层序编号后，一旦出现结点i为叶子结点或只有左孩子，则编号大于i的结点均为叶子结点。

  • 若n为奇数，则每个分支结点都有左孩子和右孩子；

    • 若n为偶数，则编号最大的分支结点只有 左孩子 ，没有右孩子。

    • 其余分支结点左右孩子都有。

  • 叶子结点个数等于总结点数/2（四舍五入）；

• 二叉树的存储结构

  1. 顺序存储结构

     

  2. 链式存储结构

     

• 二叉树的遍历

  1. 先序遍历（MLR）
     

  2. 中序遍历（LMR）
     

  3. 后序遍历（LRM）
     

• 树转换成二叉树

  口诀：左孩子，右兄弟。

>哈夫曼树

• WPL（带权路径长度）

  树中所有叶子结点的带权路径长度之和。

  （路径长度根结点从0开始向下累加）

• 哈夫曼树的构造

  

  WPL=5 x 2 + 2 x 3 + 4 x 3 + 7 x 2 + 9 x 2 = 60