透视投影矩阵的推导

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只是用 markdown 将公式全部又打了一遍

图1： View Frustum

Perspective Projection Matrix 的任务就是把位于视锥体内的物体的顶点 (x, y, z) 坐标映射到 [-1, 1] 范围。（如果是 DX 可能是 [0, 1] 范围？）

这相当于把这个四棱台扭曲变形成为一个立方体。这个立方体叫做 规则观察体 (Canonical View Volume, CVV)。如下图

图2 透视投影变换

变换方法或规则

如下图，有一点 $P$ ，位于视椎体内，设坐标为 $(x, y, z)$ 。分别对 x, y 坐标和 z 坐标变换到 [-1, 1] 的方式进行讨论

1. x, y 坐标的变换方式

连接视点 eye 与 $P$ 点与 NearClipPlane 交于 $P'$ 点
设 NearClipPlane 的宽度为 $W$ ，高度为 $H$ , $P'$ 点的 x 坐标范围是 $[-W/2, \ W/2]$ ，y 坐标范围为 $[-H/2, \ H/2]$ ，然后分别映射至 [-1, 1] 内即可。

图3 x, y 坐标的变换方式

2. z 坐标的变换方式

z 坐标的范围是 N 至 F，需要映射到 [-1, 1]。映射方法暂时按下不表。

透视投影函数形式

void Matrix4X4::initPersProjMatrix(float FOV, const float aspect, float zNear, float zFar)

FOV
- 纵向的视角大小
  
  图4 透视投影函数参数说明
aspect
- 裁剪面的宽高比
zNear
- NearClipPlane 离 camera 的距离，图 4 中的 n
zFar
- FarClipPlane 离 camera 的距离，图 4 中的 f

计算 P 的投影 P‘ 的归一化 P''

通过这几个参数和三角函数可得 near clip plane 的高度：

\begin{matrix} (1) & \tan (F O V / 2) = \frac{H / 2}{z N e a r} \end{matrix}

$\tan(FOV/2) = \frac{H/2}{zNear} \tag{1}$

推出

\begin{matrix} (2) & H = 2 z N e a r \cdot \tan (F O V / 2) \end{matrix}

$H = 2zNear \cdot \tan(FOV/2) \tag{2}$

因为 $aspect = W/H$ ，故

\begin{matrix} (3) & W = 2 a s p e c t \cdot z N e a r \cdot t a n (F O V / 2) \end{matrix}

$W = 2aspect \cdot zNear \cdot tan(FOV/2) \tag{3}$

根据相似三角形

\begin{matrix} (4) & \frac{z N e a r}{z} = \frac{y^{'}}{y} = \frac{x^{'}}{x} \end{matrix}

$\frac{zNear}{z} = \frac{y'}{y} = \frac{x'}{x} \tag{4}$

求得 点 $P$ 在 near clip plane 的投影点 $P'$ 的坐标

\begin{matrix} (5) & x^{'} = \frac{x \cdot z N e a r}{z}, x \in [- W / 2, W / 2] \end{matrix}

$x' = \frac {x \cdot zNear}{z} \ , x \in[-W/2, W/2] \tag{5}$

\begin{matrix} (6) & y^{'} = \frac{y \cdot z N e a r}{z}, y \in [- H / 2, H / 2] \end{matrix}

$y' = \frac {y \cdot zNear}{z} , \ y \in[-H/2, H/2] \tag{6}$

$x$ , $y$ 的范围沿原点对称，只要将它们分别除以 $W/2$ , $H/2$ ，就可以使其范围位于 [-1, 1] 内。将式(2), (3) 代入式 (5), (6)，得

\begin{matrix} (7) & x^{″} = \frac{x^{'}}{W / 2} = \frac{2 x \cdot z N e a r}{z \cdot 2 a s p e c t \cdot z N e a r \cdot \tan (F O V / 2)} = \frac{x}{z \cdot a s p e c t \cdot \tan (F O V / 2)} \end{matrix}

$x'' = \frac{x'}{W/2} = \frac{2x \cdot zNear}{z\cdot 2aspect \cdot zNear \cdot \tan(FOV/2)} = \frac{x}{z \cdot aspect \cdot \tan(FOV/2)} \tag{7}$

\begin{matrix} (8) & y^{″} = \frac{y^{'}}{H / 2} = \frac{2 y \cdot z N e a r}{z \cdot 2 \cdot z N e a r \cdot \tan (F O V / 2)} = \frac{y}{z \cdot \tan (F O V / 2)} \end{matrix}

$y'' = \frac{y'}{H/2} = \frac{2y \cdot zNear}{z\cdot 2 \cdot zNear \cdot \tan(FOV/2)} = \frac{y}{z \cdot \tan(FOV/2)} \tag{8}$

假设 $z \in [-1, 1]$ ，则最后需要的点 $P''$ 为

\begin{matrix} (9) & P^{″} = (\frac{x}{z \cdot a s p e c t \cdot \tan (F O V / 2)}, \frac{y}{z \cdot \tan (F O V / 2)}, z^{″}) \end{matrix}

$P'' = (\frac{x}{z \cdot aspect \cdot \tan(FOV/2)}, \frac{y}{z \cdot \tan(FOV/2)}, z'') \tag{9}$

推导矩阵

寻找一个矩阵使得

[\begin{matrix} m_{00} & m_{01} & m_{02} & m_{03} \\ m_{10} & m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{20} & m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{30} & m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{x}{z \cdot a s p e c t \cdot \tan (F O V / 2)} \\ \frac{y}{z \cdot \tan (F O V / 2)} \\ z^{″} \\ 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} m_{00} & m_{01} & m_{02} & m_{03} \\ m_{10} & m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{20} & m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{30} & m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{x}{z\cdot aspect \cdot \tan(FOV/2)} \\ \displaystyle \frac{y}{z \cdot \tan(FOV/2)} \\ z'' \\ 1 \end{bmatrix}$

我们发现求解

m_{00} x + m_{01} y + m_{02} z + m_{03} = \frac{x}{z \cdot a s p e c t \cdot \tan (F O V / 2)}

$m_{00}x + m_{01}y + m_{02}z + m_{03}= \frac{x}{z \cdot aspect \cdot \tan(FOV/2)}$

很难找到合适的 $m_{00}, m{02}$ ，因为坐标 x 和 z 是以加法的形式相邻，右边 z 却成为了 x 的分母。

解决方法：

将右边以四维列向量表示的坐标每一项乘以 z ，有：

[\begin{matrix} m_{00} & m_{01} & m_{02} & m_{03} \\ m_{10} & m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{20} & m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{30} & m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{x}{a s p e c t \cdot \tan (F O V / 2)} \\ \frac{y}{\tan (F O V / 2)} \\ z^{″} \cdot z \\ z \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} m_{00} & m_{01} & m_{02} & m_{03} \\ m_{10} & m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{20} & m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{30} & m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{x}{aspect \cdot \tan(FOV/2)} \\ \displaystyle \frac{y}{\tan(FOV/2)} \\ z'' \cdot z \\ z \end{bmatrix}$

因此可得矩阵为

[\begin{matrix} \frac{1}{a s p e c t \cdot \tan (F O V / 2)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan (F O V / 2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m_{22} & m_{23} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \displaystyle \frac{1}{aspect \cdot \tan(FOV/2)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\tan(FOV/2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m_{22} & m_{23} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$

第三行第一列

m_{22} z + m_{23} = z \cdot z^{″} \Rightarrow z^{″} = m_{22} + m_{23} / z

$m_{22}z + m_{23} = z \cdot z'' \\ \Rightarrow z'' = m_{22} + m_{23}/z$

又因为 $z = zNear$ 时， $z''=-1$

$z= zFar$ 时， $z'' = 1$
故

m_{22} + m_{23} / z N e a r = - 1 m_{22} + m_{23} / z F a r = 1

$m_{22} + m_{23}/zNear = -1\\ m_{22} + m_{23}/zFar = 1$

联立求得

m_{22} = \frac{- z F a r - z N e a r}{z N e a r - z F a r} m_{23} = \frac{2 \cdot z N e a r \cdot z F a r}{z N e a r - z F a r}

$m_{22} = \frac{-zFar-zNear}{zNear-zFar} \\ m_{23} = \frac{2 \cdot zNear \cdot zFar}{zNear - zFar}$

又 $1/\tan(FOV/2) = cot(FOV/2)$ ，故 投影矩阵为

[\begin{matrix} \frac{\cot (F O V / 2)}{a s p e c t} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cot (F O V / 2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{- z F a r - z N e a r}{z N e a r - z F a r} & \frac{2 \cdot z F a r \cdot z N e a r}{z N e a r - z F a r} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \displaystyle \frac {\cot(FOV/2)}{aspect} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cot(FOV/2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \displaystyle\frac{-zFar-zNear}{zNear-zFar} & \displaystyle\frac{2 \cdot zFar \cdot zNear}{zNear-zFar} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

将这样的矩阵乘以视锥体中的一个顶点坐标，得到一个新的向量，再将这个向量的每个分量除以第四个分量 $w$ （这一步叫做透视除法，在 GPU 渲染管线中位于 VertexShader 处理之后，由硬件自动完成），之后就得到了规则立方观察体中的新坐标。

ZBuffer 中的深度值 DepthValue

z 坐标的映射方式的获得，最后我们是为了方便矩阵乘法的操作，反向求得了 z 坐标与 CVV 中的 z 坐标的映射方式：

m_{22} + m_{23} / z = z^{″}

$m_{22} + m_{23}/z = z''$

可见两者的映射并不是线性的，如下图所示

上图为深度缓存中的深度值 DepthValue 和 物体距离摄像机深度 ZValue 的关系图，其中 $DepthValue = \displaystyle \frac{z'' + 1}{2}$ ，将深度值从范围 [-1, 1] 转换到 [0,1]

代码示例

void Matrix4X4::initPersProjMatrix(float FOV, const float aspect, float zNear, float zFar)
{
    const float zRange = zNear - zFar;
    const float tanHalfFOV = tanf(ToRadian(FOV / 2.0f));
    
    elements[0][0] = 1.0f / (tanHalfFOV * aspect);
    elements[0][1] = 0.0f;
    elements[0][2] = 0.0f;
    elements[0][3] = 0.0f;
    
    elements[1][0] = 0.0f;
    elements[1][1] = 1.0f / tanHalfFOV;
    elements[1][2] = 0.0f;
    elements[1][3] = 0.0f;
    
    elements[2][0] = 0.0f;
    elements[2][1] = 0.0f;
    elements[2][2] = (-zNear - zFar) / zRange;
    elements[2][3] = (2.0f * zNear * zFar) / zRange;

    elements[3][0] = 0.0f;
    elements[3][1] = 0.0f;
    elements[3][2] = 1.0f;
    elements[3][3] = 0.0f;
}