一种3位sar adc工作过程推导（二）

3位sar adc采用下图的电容阵列，需要2³个电容，它的基本单元有二进制加权的电容阵列、1个与LSB电容等值的电容；它利用电容上的初始电荷再分配完成二进制搜索算法，因此功耗一般比较小，而且不需要额外的采样保持电路¹。

上一篇文章《一种4位sar adc工作过程推导（二）》讨论了两个参考电压V_refP和V_refN取值的一般情况，可以通过改变电路的结构和开关时序逻辑来满足参考电压V_refP和V_refN取值的一般情况。

下面针对前文《一种3位sar adc工作过程推导》提出的3位sar adc的电路结构进行稍微修改,修改后的电路如下图：所有电容的正端（也称为上极板）与比较器的同相端连接，比较器反相端接V_refN，下面对其工作过程进行大致分析

两个参考电压\(V_{refP}\)和\(V_{refN}\)，\(V_{-}=V_{refN}\)，假设\(\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})+V_{refN}<V_{in}<\frac{6}{8}(V_{refP}-V_{refN})+V_{refN}\)

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分析过程：

step 0：采样阶段

\(\phi_{1}\)开关闭合，比较器同相端都接V_in；同时让电容负端都接参考电压V_refP

电容上存储的电荷量\(Q=(V_{in}-V_{refP})\cdot8C\)

比较器同相端电压\(V_{+}=V_{in}\)

step 1：电荷再分配阶段（电压比较阶段）

首先将开关\(\phi_{1}\)断开，电容4C的负端接V_refN，其余电容保持接V_refP不变
根据电容上的电荷量相等，可得

\(\begin{aligned} &(V_{+}-V_{refP})\cdot4C+(V_{+}-V_{refN})\cdot4C=(V_{in}-V_{refP})\cdot8C \end{aligned}\)

\(\Rightarrow V_{+}=V_{in}-\frac{1}{2}(V_{refP}-V_{refN})\)

则

\[\begin{aligned} V_{+}-V_{-}&=V_{in}-\frac{1}{2}(V_{refP}-V_{refN})-V_{refN}\\ &=V_{in}-[\frac{1}{2}(V_{refP}-V_{refN})+V_{refN}] \end{aligned} \]

第1次：\(V_{in}\)与\(\frac{1}{2}(V_{refP}-V_{refN})+V_{refN}\)两者进行比较，则比较器输出为高电平，即最高位D₂=1

step 2：电荷再分配阶段（电压比较阶段）

因为最高位D₂=1，所以电容2C的负端接V_refN；电容4C的负端保持接V_refN
根据电容上的电荷量相等，可得

\(\begin{aligned} &(V_{+}-V_{refP})\cdot2C+(V_{+}-V_{refN})\cdot6C=(V_{in}-V_{refP})\cdot8C \end{aligned}\)

\(\Rightarrow V_{+}=V_{in}-\frac{3}{4}(V_{refP}-V_{refN})\)

则

\[\begin{aligned} V_{+}-V_{-}&=V_{in}-\frac{3}{4}(V_{refP}-V_{refN})\\ &=V_{in}-[\frac{3}{4}(V_{refP}-V_{refN})+V_{refN}] \end{aligned} \]

第2次：\(V_{in}\)与\(\frac{3}{4}(V_{refP}-V_{refN})+V_{refN}\)两者进行比较，则比较器输出为低电平，即次高位D₁=0

step 3：电荷再分配阶段（电压比较阶段）

因为最高位D₂=1且次高位D₁=0，所以电容C的负端接V_refN；电容2C的负端接V_refP，电容4C的负端保持接V_refN
根据电容上的电荷量相等，可得

\(\begin{aligned} &(V_{+}-V_{refP})\cdot3C+(V_{+}-V_{refN})\cdot5C=(V_{in}-V_{refP})\cdot8C \end{aligned}\)

\(\Rightarrow V_{+}=V_{in}-\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)

则

\[\begin{aligned} V_{+}-V_{-}&=V_{in}-\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})\\ &=V_{in}-[\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})+V_{refN}] \end{aligned} \]

第3次：\(V_{in}\)与\(\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})+V_{refN}\)两者进行比较，则比较器输出为高电平，即最低位D₀=1

所以3位sar adc输出数字码为D₂D₁D₀=101

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小结

• 输入电压V_in首先与\(\frac{1}{2}(V_{refP}-V_{refN})+V_{refN}\)进行比较，然后根据比较器输出结果（0或1）来选择下一个参考电压进行比较，当输出为1，则与\((\frac{1}{2}+\frac{1}{4})(V_{refP}-V_{refN})+V_{refN}\)进行比较；若输出为0，则与\((\frac{1}{2}-\frac{1}{4})(V_{refP}-V_{refN})+V_{refN}\)进行比较，。依次类推，比较器输出结果就可以等效地控制参考电压的改变。

下图直观反映了3次比较的状态，令\(V_{ref}=V_{refP}-V_{refN}\).
注意每个参考电压还需要加上V_refN

graph LR; A0((1/2Vref))-.D2=1.-> A1((3/4Vref)) A0-.D2=0.-> A2((1/4Vref)) A1-.D1=1.-A3((7/8Vref)) A1-.D1=0.-A4((5/8Vref)) A2-.D1=1.-A5((3/8Vref)) A2-.D1=0.-A6((1/8Vref)) A3-.D0=1.-A23>输出:111] A3-.D0=0.-A24>输出:110] A4-.D0=1.-A25>输出:101] A4-.D0=0.-A26>输出:100] A5-.D0=1.-A27>输出:011] A5-.D0=0.-A28>输出:010] A6-.D0=1.-A29>输出:001] A6-.D0=0.-A30>输出:000]

• 当采样阶段结束后，断开开关\(\phi_{1}\)，进入电荷再分配阶段，各个电容的负端（下极板）所接的电压值与比较器同相端电压\(V_{+}\)的关系如下表，从表中可以看出大致规律。

C	C	2C	4C	\(V_{+}\)
VrefP	VrefP	VrefP	VrefP	\(V_{in}\)
VrefP	VrefN	VrefP	VrefP	\(V_{in}-\frac{1}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)
VrefP	VrefP	VrefN	VrefP	\(V_{in}-\frac{2}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)
VrefP	VrefN	VrefN	VrefP	\(V_{in}-\frac{3}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)
VrefP	VrefP	VrefP	VrefN	\(V_{in}-\frac{4}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)
VrefP	VrefN	VrefP	VrefN	\(V_{in}-\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)
VrefP	VrefP	VrefN	VrefN	\(V_{in}-\frac{6}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)
VrefP	VrefN	VrefN	VrefN	\(V_{in}-\frac{7}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)

• 所以初步得出结论：这个sar adc电路可以满足参考电压V_refP和V_refN取值的一般情况。

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参考文献

- [1] 逐次逼近型ADC