我的毕业设计，做一个动画插值
原文请查看：http://www.ibaiyang.org/2013/05/20/introduced-a-3d-geometric-interpolation-algorithm/
这原本是我 毕业设计 所做的事，但是看到如此的神奇，打算来介绍一下它，你会看到如此清晰，简单的逻辑思维如何来解决实际问题的。我深深的被这些算法折服。
维基百科解释说，插值（interpolation）是一种利用已知离散的数据集产生新的数据集的方法，一般有能通过 曲线拟合 和 回归分析等方法实现，最长见的莫过于 线性插值。
那3D几何插值是怎么回事呢？
以上图片的最左，最右一列分别是源网格，目标网格，那么3D插值的目的就是自动生成其中间帧过程，以上图的第2,3和4列分别是0.25，0.5和0.75的插值结果。正是基于此，3D插值目前在图形学界非常的火，其在动画领域有非常广阔的前景。
多尺度几何插值（multi-scale interpolation）
算法的基本流程如下：
构建层次树
开始，我们将完整的网格作为层次树的根节点（level 0），然后在此节点上的网格中随即选取一些三角形，作为下一层节点的种子三角形。假设我们规定每一节点包含m个子节点。故可得知该节点的种子三角形个数等于该节点的子节点数 。我们定义组成每一节点的所有三角形构成一个patch。通过这些种子三角形，依靠相邻关系，逐步的形成了一块一块的区域，也可以叫做patch，直到这些patch相遇，并且相邻的patch包含长度为1的三角形带为止。实验证明，随机种子三角形的位置对插值结果并没有太大的影响，比较好的位置，可以减少层次树的高度，有利于减少计算量。经过验证，不管输入网格的点和面个数或多还是或少，最理想的高度都在10至20之间。从根节点开始递归，我们已经在层次树的level 1创建了m个patch了。
通过递归的应用此模式，我们就能创建整棵层次树了，当然，我们可以定义层次树的最低一层叶节点包含的三角形个数小于等于m 。在叶节点上，我们就可以对每一个三角形和三角形对的二面角进行插值了。
线性插值
构建好了层次树，我们只需要在叶节点进行线性插值，此算法只是对三角形的边长和相邻三角形对的二面角进行插值，如下图：
线性插值公式如下
其他的以此类推。
下图是一个demo
配准和融合
该过程是本算法的核心，有点难理解。我们知道在构建层次树时，我们要求在同一层相邻patch，也就是某节点下的子节点之间，共有一个长度为1的三角形带，如下图是根节点下的子节点之间的三角形带
由于我们知道插值的时候其实都是在各自的坐标系里进行插值，换句话说，我们并不关心叶节点插值后的顶点坐标值，因为正是由于这些三角形带，我们可以用配准的方法将这些在不同坐标系下的patch合并到一起，构成一个完整的网格mesh。
注意，我们为什么一定要求是三角形带呢，而不是共有一个点呢，因为只有三角形才能构成一个平面，而点即使重合，也能够旋转，所以这里一定要求是三角形带。
到底什么是配准？
配置的目的是将不同视图下的数据，也可以说成不同坐标系下的数据，合并到同一个视图，或则坐标系下，假设我们有M个视图下的数据，那么配准算法将能得到M个旋转和平移矩阵，使得这M的数据源能够很好的合并，这里的代价函数一般是，不同视图下的共有点对之间的距离平方和最小。
由上图可以看见，来自二份不同视角的点云数据合并成一份点云数据后，其细节能加的凸显。
一般情况下，配准有二个步骤：
1. 找到不同视图下的对应点；
2. 计算旋转和平移矩阵；
正由于，我们相邻patch之间也有共有三角形带，也就是说包含共有的点对，所以我们可以通过配准的方式将某节点下子节点构成的patch合并成父节点一个大的patch，以此回溯，就能得到插值的结果。
何谓融合（blending)？
因为不同patch之间的配准在计算旋转，平移矩阵时，或多或少都会带来误差，所以在共有的三角形带之间并不能很好的衔接，容易出现塌陷的效果，所以我们需要blending的过程使塌陷的现象消失，这个优化过程，我这里不详细解释，具体看论文。
该代码我已经放在github上了，可以查看以下链接：
https://github.com/baiyang/multi-scale-geometry-interpolation
引用：
T.Winkler论文 Multi-Scale Geometry Interpolation.
