luogu P1415 拆分数列 序列DP

做起来不太难，但是很难想的一道题。

分两个步骤，第一个步骤是先求出，最后一个数字是多少。

我们考虑d[i]表示，[1,i]最后一个数字最小情况下，最后一个数字的开始位置。 

那转移方程很显然，d[i] = j(满足s[d[j - 1],j - 1]<s[j,i]，且j距离i最近，这样子最小)。

这样我们就求除了最后一个数字是多少。

第二步，我们类似的从后推一遍。

用f[i]表示，[i,n]第一个数字最大情况下，第一个数字的结束位置。 

转移方程依旧显然，f[i] = j(满足s[i,j] < s[j + 1,f[j + 1]]且离i最远的j，这样子最大)。

然后我们最后顺着f[i]输出即可。

但是有一些问题，就是我们第一步骤求出的最后一个数字，可能存在前导0。

比如100300这个例子，300作为最后一个数字不应该吞并前导零。

而1234050这个例子，50作为最后一个数字应该吞并前导零。

那这个如何处理呢，我们考虑在进行第二次dp前，让最后一个数字的所有前导零的f值全部为n。然后我们从非零的位置开始DP。可以理解成，我先让所有前导零与最后一个数字合并，如果前面的某个数字x发现合并了后面这些前导零更优的时候，我允许他把它合并掉，即f[x]指向某些前导零。有种有需要，则自取的感觉。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring> 
using namespace std;
char s[510];
int d[510],f[510];
int len;
bool cmp(int x1,int y1,int x2,int y2)
{//若[x2,y2] > [x1,y1]则返回true 
    while (s[x1] == 0 && x1 != y1)
        x1++;
    while (s[x2] == 0 && x2 != y2)
        x2++;
    if (y2 - x2 > y1 - x1)
        return true;
    else if (y2 - x2 < y1 - x1)
        return false;
    for (int i = x1;i <= y1;i++)
        if (s[i] < s[x2 + i - x1])
            return true;
        else if (s[i] > s[x2 + i - x1])
            return false;
    return false;
}
void print(int x,int y)
{
    for (int i = x;i <= y;i++)
        printf("%d",s[i]);
    if (y != len)
        printf(",");
}
bool check(int x,int y)
{
    for (int i = x;i <= y;i++)
        if (s[i] != 0)
            return false;
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%s",s + 1);
    len = strlen(s + 1);
    for (int i = 1;i <= len;i++)
        s[i] -= '0';
    //d[i]表示，[1,i]最后一个数字最小情况下，最后一个数字的开始位置。 
    d[1] = 1;
    for (int i = 2;i <= len;i++)
        for (int j = i;j >= 1;j--)
            if (cmp(d[j - 1],j - 1,j,i) == true)
            {
                d[i] = j;
                break;
            }
    //f[i]表示，[i,n]第一个数字最大情况下，第一个数字的结束位置。 
    int t=d[len];
    do
    {
        f[t]=len;
        t--;
    }while ((t>=1)&&(s[t]==0));
    f[d[len]] = len;
    for (int i = t;i >= 1;i--)
        for (int j = d[len] - 1;j >= i;j--)
            if (cmp(i,j,j + 1,f[j + 1]) == true)
            {
                f[i] = j;
                break;
            }
    for (int i = 1;i <= len;i++)
    {
        print(i,f[i]);
        i = f[i];
    }
    return 0;
}