BZOJ 2440: [中山市选2011]完全平方数 莫比乌斯函数 容斥原理 二分答案

先二分答案，check(x)表示[1,x]的数中，不是完全平方数整数倍数的数的个数。第一个check(x)为Ki的数x即为答案。

考虑如何求出check(x)。我们考虑通过容斥原理，去从x中删掉为平方数整数倍数的数的个数。

所以res = x - (单个素数的平方的整数倍的数)+(两个素数乘积的平方的整数倍的数)-(三个素数乘积的平方的整数倍的数)……

而可能是[1,x]的完全平方数整数倍数的中的因子(素数或素数乘积)，显然不超过sqrt(x)。所以只考虑[1,sqrt(x)]中的素数(或乘积)即可。

我们考虑μ(a)，如果a含有平方数因子，即μ(a) = 0，a显然不是素数成绩，a不位于上式中，a及其倍数显然不对答案产生贡献。如果a不含有平方数因子，即μ(a) = (-1)^k。则如果k为奇数，那么μ(a)=-1。可以注意到，a及其倍数会在(k个素数乘积的平方的整数倍的数)中出现，系数为-1。而当k为偶数时，同理。所以μ(a)即为a的平方及其倍数的系数。而x内有x / (a * a)个a^2的倍数。

 

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
vector <int> vec;
bool vis[101000];
int mu[101000];
void mobius(int n)
{
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2;i <= n;i++)
    {
        if (vis[i] == false)
        {
            vec.push_back(i);
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 0;j < vec.size() && i * vec[j] <= n;j++)
        {
            vis[i * vec[j]] = true;
            if (i % vec[j] == 0)
            {
                mu[i * vec[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i * vec[j]] = -mu[i];
        }
    }
}
ll check(ll x)
{
    ll tp = sqrt(x),res = 0;
    for (int i = 1;i <= tp;i++)
        res += mu[i] * (x / i / i);
    return res;
}
int T,n;
int main()
{
    mobius(100000);
    for (scanf("%d",&T);T;T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        ll l = 1,r = (1ll << 31) - 1,mid;
        while (l < r)
        {
            mid = l + r >> 1;
            if (check(mid) >= n)
                r = mid;
            else
                l = mid + 1;
        }
        printf("%lld\n",l);
    }
}