微积分和数学分析引论(一)——函数

    一致连续性(意义):在f(x)的连续区间的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度(δ)，就可使对应的函数值达到所指定的接近程度(ε)，且这个接近程度(ε)不随自变量x的改变而改变。

    其实在该书的第一卷P44页中，说的是对于某区间（可以说是开区间、闭区间甚至无穷区间），我们能找到统一的（即不依赖于区间中的自变量）连续模δ=δ(ε)，则称f在此区间上是一致连续的.它比单纯的局部连续性更接近于直观的概念。比如f(x)=5x+3，对于自变量一切值来说是一致连续的，而对于f(x)=x²在x的无限区间上显然不是一致连续的，而在固定的有限闭区间它是满足一致连续性的。

所以我们得出一个结论：任何函数在一个有界闭区间上是连续的，自然在此区间上是一致连续的。

利普希茨(Lipschitz)连续性——赫尔德(Holder)连续性：

利普希茨条件：|f(x₂) - f(x₁)| ≤ L|x₂ - x₁|，它对于一致性来说只是充分条件，而不是必要条件。在有些函数中不可能选取与ε成正比的δ(ε)，但是对于某些函数中存在另外的非线性的连续模。因此得出赫尔德条件：

|f(x₂) - f(x₁)| ≤ L|x₂ - x₁|^α 

其中L和α 是固定的常数，而这个“赫尔德指数α”的取值限于0<α<1。显然δ=L^-1/α ε^1/α是赫尔德连续函数f可能有的连续模。