leetcode#1674. 使数组互补的最少操作次数（差分数组）
- 使数组互补的最少操作次数
给你一个长度为 偶数 n 的整数数组 nums 和一个整数 limit 。每一次操作，你可以将 nums 中的任何整数替换为 1 到 limit 之间的另一个整数。
如果对于所有下标 i（下标从 0 开始），nums[i] + nums[n - 1 - i] 都等于同一个数，则数组 nums 是 互补的 。例如，数组 [1,2,3,4] 是互补的，因为对于所有下标 i ，nums[i] + nums[n - 1 - i] = 5 。
返回使数组 互补 的 最少 操作次数。
示例 1：
输入：nums = [1,2,4,3], limit = 4
输出：1
解释：经过 1 次操作，你可以将数组 nums 变成 [1,2,2,3]（加粗元素是变更的数字）：
nums[0] + nums[3] = 1 + 3 = 4.
nums[1] + nums[2] = 2 + 2 = 4.
nums[2] + nums[1] = 2 + 2 = 4.
nums[3] + nums[0] = 3 + 1 = 4.
对于每个 i ，nums[i] + nums[n-1-i] = 4 ，所以 nums 是互补的。
示例 2：
输入：nums = [1,2,2,1], limit = 2
输出：2
解释：经过 2 次操作，你可以将数组 nums 变成 [2,2,2,2] 。你不能将任何数字变更为 3 ，因为 3 > limit 。
示例 3：
输入：nums = [1,2,1,2], limit = 2
输出：0
解释：nums 已经是互补的。
提示：
n == nums.length
2 <= n <= 105
1 <= nums[i] <= limit <= 105
n 是偶数。
https://leetcode-cn.com/problems/minimum-moves-to-make-array-complementary/
思路：
接下来我们举几个例子寻找一下规律：
假设数组是1,3,4,2。limit = 5，则第一个数对为(1,2)
我们找出每一个数对的最大值max和最小值min。
如图中数对，将该数对和转化成3所需要的操作次数显然是0，接下来还要讨论转化次数为1和转化次数为2的情况。
显然转化1次能取到的最小值是min + 1，能取到的最大值是max + limit。那么在这范围之外的就是需要转化次数2次。
所以对于每一对数对：分如下几种情况
在[2, min]这个区间，arr[i] += 2;
在[min + 1, min + max]区间，arr[i] += 1;
在min + max上，arr[i] += 0;
在[min + max + 1, max + limit]区间上，arr[i] += 1;
在[max + limit + 1, limit + limit]区间上，arr[i] += 2;
具体操作
-
先将 [2, 2 * limit] 的范围需要的操作数 + 2；
-
之后，将 [1 + min(A, B), limit + max(A, B)] 的范围需要的操作数 - 1（即 2 - 1 = 1，操作 1 次）；
-
之后，将 [A + B] 位置的值再 -1（即 1 - 1 = 0，操作 0 次）。
仔细观察，我们发现，我们只需要作区间更新，和单点查询。
对于这个需求，有一种非常常规的”数据结构“，叫差分数组，完全满足需求，并且编程极其简单，整体可以在 O(n) 的时间解决。
打上引号，是因为差分数组就是一个数组而已
关于差分数组
简单来说，差分数组 diff[i]，存储的是 res[i] - res[i - 1]；而差分数组 diff[0...i] 的和，就是 res[i] 的值。
大家可以用一个小数据试验一下，很好理解。
如果我们想给 [l, r] 的区间加上一个数字 a, 只需要 diff[l] += a，diff[r + 1] -= a。
这样做，diff[0...i] 的和，就是更新后 res[i] 的值。
依然是，大家可以用一个小数据试验一下，其实很好理解。
这里不赘述，更严谨的分析看上面这个文档：https://oi-wiki.org/basic/prefix-sum/#_6
代码：
func minMoves(nums []int, limit int) int {
n := len(nums)
// 差分数组, diff[0...x] 的和表示最终互补的数字和为 x，需要的操作数
// 因为差分数组的计算需要更新 r + 1，所以数组的总大小在 limit * 2 + 1 的基础上再 + 1
diff := make([]int, 2*limit+2)
for i := 0; i < n/2; i++ {
a, b := nums[i], nums[n-1-i]
// [2, 2 * limit] 范围 + 2
l, r := 2, 2*limit
diff[l] += 2
diff[r+1] -= 2
// [1 + min(A, B), limit + max(A, B)] 范围 -1
l, r = min(a, b)+1, max(a, b)+limit
diff[l] -= 1
diff[r+1] += 1
// [A + B] 再 -1
l, r = a+b, a+b
diff[l] -= 1
diff[r+1] += 1
}
// 依次求和，得到 最终互补的数字和 i 的时候，需要的操作数 sum
// 取最小值
sum, ret := 0, n
for i := 2; i <= 2*limit; i++ {
sum += diff[i]
if sum < ret {
ret = sum
}
}
return ret
}
func min(a, b int) int {
if a < b {
return a
}
return b
}
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}
