有理数的阿基米德性质及其应用

• 有理数的阿基米德性质

任何有理数$r={\displaystyle \frac{p}{q}}\le |p|$（这里$p$和$q$都是整数并且$q\ne 0$），因为$r={\displaystyle \frac{p}{q}}\le {\displaystyle \frac{|p|}{|q|}}\le {\displaystyle \frac{|p|}{1}}=|p|$，可知对于任何有理数$r$，总存在比它大的正整数$n$，即$n>r$ ，比如这里可取$n=|p|+1$，这就是有理数的阿基米德性质（Archimedean Property for rational numbers）^[1]。如果$r$是任意正有理数，那么${\displaystyle \frac{1}{r}}$也是任意正有理数，对前面这个不等式两边取倒数有${\displaystyle \frac{1}{n}}<{\displaystyle \frac{1}{r}}$ ， 可知对于任何正有理数，总存在正整数$n$使得${\displaystyle \frac{1}{n}}$小于它 ，综合这两条性质来看——即没有最大的正有理数也没有最小的正有理数。后面等我们学习到实数的阿基米德性质后，同样会明白没有最大的正实数也没有最小的正实数，进而所谓的“无穷大数”和“无穷小数”也就不存在实数系里了^[2]。

• $A=\{x\in \mathbb{Q}|x^2<2\mathrm{或}x<0\}$，A内有最大的有理数吗？

你也许会想到：如果$a$是A内最大的有理数，那么必有一个有理数$a^{\prime }$满足$a<a^{\prime }<\sqrt{2}$（根据“任何两个不同实数间必然存在有理数”可得），故而A内没有最大的有理数。但是，这种方法依赖于实数或无理数的存在，假设我们仅仅只知道有理数，那么还能回答这个问题吗？能！用有理数的阿基米德性质就能解决这个问题，该问的解决对于我们后面以有理数为基础通过Dedekind Cut来构建数的连续体至关重要。

假设$a$是A内最大的有理数，只要选定足够大的正整数$n$就可以让$a+{\displaystyle \frac{1}{n}}$变得比$a$稍大一点点，那么我们很自然就会想：是不是存在正整数$n$使得${(a+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^2<2$呢？若存在，那么我们便说明了A内有比$a$更大的有理数$a+{\displaystyle \frac{1}{n}}$，从而说明A内无最大的有理数，下面是证明过程。

证明：假设A内有最大的有理数$a$，那么$a$必然是正有理数且$a^2<2$ 。如果证明存在正整数$n$使得${(a+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^2<2$，便可得出A内有比$a$更大的有理数$a+{\displaystyle \frac{1}{n}}$，从而说明A内无最大的有理数。

${(a+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^2=a^2+{\displaystyle \frac{2a}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}<a^2+{\displaystyle \frac{2a}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}=a^2+{\displaystyle \frac{1}{n}}(2a+1)$，如果能证明存在正整数$n$使得$a^2+{\displaystyle \frac{1}{n}}(2a+1)<2$，那么${(a+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^2<2$自然得证。对$a^2+{\displaystyle \frac{1}{n}}(2a+1)<2$稍作变形可得${\displaystyle \frac{1}{n}}<{\displaystyle \frac{2-a^2}{2a+1}}$ ，现在问题变成了是否存在正整数$n$使得${\displaystyle \frac{1}{n}}<{\displaystyle \frac{2-a^2}{2a+1}}$ ，因为$a$是正有理数且$a^2<2$，所以${\displaystyle \frac{2-a^2}{2a+1}}$是正有理数，由“对于任何正有理数，总存在正整数$n$使得${\displaystyle \frac{1}{n}}$小于它”知存在这样的正整数$n$，也就存在正整数$n$使得${(a+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^2<2$，所以A内无最大的有理数。

用类似的方法也可以证明$\{x\in \mathbb{Q}|x^2>2\mathrm{且}x>0\}$内无最小的有理数^[3]。下一节我将以这两个问题为例介绍数的连续体的构建，请继续关注！

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1. Charles Chapman Pugh, Real Mathematical Analysis, 1st Edition, P20 ↩︎

2. James S. Howland, Basic Real Analysis, 1st Edition, P15 ↩︎

3. 证明看这里 ↩︎