为什么圆的面积的导数等于周长?球的的体积的导数等于其表面积?

圆的面积函数是

S(r)=πr2

周长函数是

C(r)=2πr

这二者的关系可以通过导数联系起来

S(r)=(πr2)=2πr=C(r)

简而言之就是圆的面积的导数等于周长,为什么会这样呢?当半径增加Δr时面积就增加ΔS——这可以视为增加了的圆环的面积,

形状 低可信度描述已自动生成1

Δr比较小的时候,增加的圆环的面积ΔS就近似等于长为2πr宽为Δr的矩形的面积2πr×Δr。在求面积相对于半径的导数的时,要计算的是ΔSΔr的极限,而ΔSΔr2πr×ΔrΔr=2πr,并且显然Δr越小ΔSΔr2πr就越接近,所以求ΔSΔrΔr0情况下的极限得到的就是半径为r的圆的周长2πr2

对于球体的体积和表面积也有类似的结论。球的体积函数是

V(r)=43πr3

表面积函数是

A(r)=4πr2

这二者的关系可以通过导数联系起来

V(r)=(43πr3)=4πr2=A(r)

简而言之就是球的体积的导数等于表面积,为何如此?当球体半径增加Δr时体积就增加ΔV——这可以视为增加了的球壳的体积,

钟表的特写 中度可信度描述已自动生成3

Δr比较小的时候,增加的球壳体积ΔV就近似等于底为4πr2高为Δr柱体的体积4πr2×Δr。在求体积相对于半径的导数的时,要计算的是ΔVΔr的极限,而ΔVΔr4πr2×ΔrΔr=4πr2,并且显然Δr越小ΔVΔr4πr2就越接近,所以求ΔVΔrΔr0情况下的极限得到的就是半径为r的球的表面积4πr2


  1. https://www.physicsforums.com/threads/determining-electric-potential-with-charge-density.916561/↩︎

  2. Morris Kline, Calculus : an intuitive and physical approach, second edition, Chapter 2,Section 6↩︎

  3. https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/suppose-charge-density-spherical-charge-distribution-shown-figure-623-r-0-r-r-r-r-zero-r-r-q18009886↩︎

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