为什么圆的面积的导数等于周长？球的的体积的导数等于其表面积？

圆的面积函数是

$$S(r)=\pi r^2$$

周长函数是

$$C(r)=2\pi r$$

这二者的关系可以通过导数联系起来

$$S^{{}^{\prime }}(r)={\left(\pi r^2\right)}^{{}^{\prime }}=2\pi r=C(r)$$

简而言之就是圆的面积的导数等于周长，为什么会这样呢？当半径增加$\mathrm{\Delta }r$时面积就增加$\mathrm{\Delta }S$——这可以视为增加了的圆环的面积，

¹

$\mathrm{\Delta }r$比较小的时候，增加的圆环的面积$\mathrm{\Delta }S$就近似等于长为$2\pi r$宽为$\mathrm{\Delta }r$的矩形的面积$2\pi r\times \mathrm{\Delta }r$。在求面积相对于半径的导数的时，要计算的是$\frac{\mathrm{\Delta }S}{\mathrm{\Delta }r}$的极限，而$\frac{\mathrm{\Delta }S}{\mathrm{\Delta }r}\approx \frac{2\pi r\times \mathrm{\Delta }r}{\mathrm{\Delta }r}=2\pi r$，并且显然$\mathrm{\Delta }r$越小$\frac{\mathrm{\Delta }S}{\mathrm{\Delta }r}$和$2\pi r$就越接近，所以求$\frac{\mathrm{\Delta }S}{\mathrm{\Delta }r}$在$\mathrm{\Delta }r\to 0$情况下的极限得到的就是半径为$r$的圆的周长$2\pi r$。²

对于球体的体积和表面积也有类似的结论。球的体积函数是

$$V(r)=\frac{4}{3}\pi r^3$$

表面积函数是

$$A(r)=4\pi r^2$$

这二者的关系可以通过导数联系起来

$$V^{{}^{\prime }}(r)={\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)}^{{}^{\prime }}=4\pi r^2=A(r)$$

简而言之就是球的体积的导数等于表面积，为何如此？当球体半径增加$\mathrm{\Delta }r$时体积就增加$\mathrm{\Delta }V$——这可以视为增加了的球壳的体积，

³

$\mathrm{\Delta }r$比较小的时候，增加的球壳体积$\mathrm{\Delta }V$就近似等于底为$4\pi r^2$高为$\mathrm{\Delta }r$的柱体的体积$4\pi r^2\times \mathrm{\Delta }r$。在求体积相对于半径的导数的时，要计算的是$\frac{\mathrm{\Delta }V}{\mathrm{\Delta }r}$的极限，而$\frac{\mathrm{\Delta }V}{\mathrm{\Delta }r}\approx \frac{4\pi r^2\times \mathrm{\Delta }r}{\mathrm{\Delta }r}=4\pi r^2$，并且显然$\mathrm{\Delta }r$越小$\frac{\mathrm{\Delta }V}{\mathrm{\Delta }r}$和$4\pi r^2$就越接近，所以求$\frac{\mathrm{\Delta }V}{\mathrm{\Delta }r}$在$\mathrm{\Delta }r\to 0$情况下的极限得到的就是半径为$r$的球的表面积$4\pi r^2$。

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1. https://www.physicsforums.com/threads/determining-electric-potential-with-charge-density.916561/↩︎

2. Morris Kline, Calculus : an intuitive and physical approach, second edition, Chapter 2，Section 6↩︎

3. https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/suppose-charge-density-spherical-charge-distribution-shown-figure-623-r-0-r-r-r-r-zero-r-r-q18009886↩︎