费马平方和定理

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平方分解数 ： 可以表示为两个平方数的和的数

费马平方和定理 : 对于一个奇素数，它是平方分解数，当前仅当它形如 \(4k + 1, k \in Z\)

证明

定理 1:

两个平方分解数的积是平方分解数

证明 :

\[\begin{aligned} (a^2+b^2)(c^2+d^2) &= a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2 \\ &= (a^2c^2 + b^2d^2 - 2abcd) + (b^2c^2 + a^2d^2 + 2abcd) \\ &= (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2 \end{aligned} \]

定理 2:

两个平方分解数的商是平方分解数

证明 :

\[\begin{aligned} \frac{a^2+b^2}{c^2 + d^2} &= \frac{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}{(c^2 + d^2)^2} \\&= \frac{(ac - bd)^2 + (bc+ad)^2}{(c^2+d^2)^2} \\&= (\frac{ac-bd}{c^2+d^2})^2 + (\frac{bc+ad}{c^2+d^2})^2 \end{aligned} \]

定理 3:

平方分解数被非平方分解数整除的商必有一个非平方分解因子.

证明:

设 \(a = x\prod_{i}p_i\) , \(a\) 是平方分解数，\(x\) 是非平方分解数 . 假设 \(p_i\) 都是平方分解数。那么用 \(p_i\) 一个一个去除 \(a\) 所得的 \(x\) 是平方分解数，与假设矛盾.

定理 4:

如果 \(a\) 和 \(b\) 互质，那么 \(a^2 + b^2\) 的所有因子都是平方分解数

证明:

咕咕咕

定理 5a:

形如 \(4n + 1\) 的素数是平方分解数

证明 :

设 \(p = 4n + 1\) , \(\forall x \in [1, 4n], p | x^{4n}-1\) , 则 \(p | (x+1)^{4n} - x^{4n}\) ， 那么有 \(p | (x+1)^{2n}+x^{2n}\) 或 \(p | (x+1)^{2n} - x^{2n}\) ， 假设 \(\exists x, p | (x+1)^{2n} + x^{2n}\) , 根据定理4，\(p\) 为平方分解数。否则， 对 \(x^{2n}\) 不断做差分的结果都可以被 \(p\) 整除 , \(\Delta^{2n}x^{2n} = \Delta^{2n}x^{\underline{2n}} = (2n)!\) , \(p | (2n)!\) 不成立。所以 \(p\) 为平方分解数.

定理 5b:

形如 \(4n + 3\) 的素数不是平方分解数

证明 ：

只需证明平方数除以 \(4\) 余 \(0\) 或 \(1\) .

设这个平方数为 \(x^2\)

如果 \(x\) 是奇数，那么 \(x^2 = (x-1)(x+1) + 1\) , 除以 \(4\) 余 \(1\)。

如果 \(x\) 是偶数，那么 \(x^2\) 除以 \(4\) 余 \(0\)。