最小割树学习笔记
口胡
定义
对于一棵树，如果对于树上的所有边 \((u, v)\) , 满足去掉 \((u, v)\) 后产生的两个集合恰好是原图上 \((u, v)\) 的最小割把原图分成的两个集合, 且 \((u,v)\) 的权值是原图 \((u,v)\) 的最小割
构造
每次任选两个节点，求最小割，最小割把这张图分成了两个部分，然后对这两个部分分别递归构造, 复杂度 \(O(n^3m)\) , 跑不满。
性质
设 \(\lambda(a, b)\) 表示 \(a\) 和 \(b\) 的最小割
性质 \(1\)
设 \(V_u\) 和 \(V_v\) 表示边 \((u, v)\) 两端的部分, 那么对于 \(x \in V_u\) 和 \(y \in V_v\), 有 \(\lambda(x, y) \leq \lambda(u, v)\) .
证明：
因为 \(x\) 和 \(y\) 分别在被 \((u, v)\) 的最小割分成的两部分中，所以 \(\lambda(u, v)\) 是 \((x, y)\) 的割, 所以 \(\lambda(x, y) \leq \lambda(u, v)\)
性质 \(2\)
对于三个点 \(a, b, c\) ， 有 \(\lambda(a, b) \geq \min(\lambda(b, c), \lambda(a, c))\)
证明：
在割掉 \((a, b)\) 后，\(c\) 如果在 \(a\) 那边，根据性质 \(1\) , 有 \(\lambda(b, c) \leq \lambda(a, b)\) ，如果在 \(b\) 那边, 有 \(\lambda(a, c) \leq \lambda(a, b)\) ，所以一定有 \(\lambda(a, b) \geq \min(\lambda(b, c), \lambda(a, c))\)
性质 \(3\)
由性质 \(2\) 可以得到 \(\lambda(a, b) \geq \min(\lambda(a, p_1), \lambda(p_1, p_2), \lambda(p_2, p_3), ... \lambda(p_k, b))\)
性质 \(4\) （最重要）
设 \((p, q)\) 为最小割树 \(x\) 到 \(y\) 路径上的两点，且 \(\lambda(p, q)\) 最小, 那么 \(\lambda(x, y) = \lambda(p, q)\) , 即 \(\lambda(x, y)\) 等于最小割树上 \(x\) 到 \(y\) 的路径上权值最小的边.
证明:
因为 \(x\) 和 \(y\) 在 \((p,q)\) 两侧, 所以有 \(\lambda(x, y) \leq \lambda(p, q)\)
由性质 \(3\) 得 \(\lambda(x, y) \geq \lambda(p, q)\)
所以 \(\lambda(x, y) = \lambda(p, q)\)
Code
//网络流
int bfs(int S, int T) {
memset(dep, 0, sizeof(dep));
memcpy(cur, head, sizeof(head));
q[h = t = 1] = S;
dep[S] = 1;
while (h <= t) {
int u = q[h++];
for (int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
int v = to[i];
if (!dep[v] && c[i]) {
dep[v] = dep[u] + 1;
q[++t] = v;
}
}
}
return dep[T];
}
int dfs(int u, int T, int lim) {
if (u == T || !lim) return lim;
int flow = 0, k;
for (int i = cur[u]; i && lim; i = nxt[i]) {
cur[u] = i;
int v = to[i];
if (dep[v] == dep[u] + 1 && c[i]) {
k = dfs(v, T, min(lim, c[i]));
if (!k) dep[v] = 0;
lim -= k, flow += k;
c[i] -= k, c[i ^ 1] += k;
}
}
return flow;
}
int dinic(int S, int T) {
for (int i = 2; i <= e_tot; ++i) {
c[i] = c[i] + c[i ^ 1];
c[i ^ 1] = 0;
}
int res = 0;
while (bfs(S, T)) res += dfs(S, T, inf);
return res;
}
//构造最小割树
void solve(int l, int r) {
if (l == r) return ;
int S = node[l], T = node[l + 1];
int cut = dinic(S, T);
link(S, T, cut);
link(T, S, cut);
int tot1 = 0, tot2 = 0;
for (int i = l; i <= r; ++i) {
if (dep[node[i]]) tmp1[++tot1] = node[i];
else tmp2[++tot2] = node[i];
}
for (int i = 1; i <= tot1; ++i) node[l - 1 + i] = tmp1[i];
for (int i = 1; i <= tot2; ++i) node[l + tot1 - 1 + i] = tmp2[i];
solve(l, l + tot1 - 1);
solve(l + tot1, r);
}
void dfs(int u, int _fa) {
dep[u] = dep[_fa] + 1;
for (auto it : path[u]) {
int v = it.first, len = it.second;
if (v == _fa) continue;
minn[v][0] = len, fa[v][0] = u;
dfs(v, u);
}
}
// 查询任意两点的最小割
int query(int x, int y) {
int res = 0x3f3f3f3f;
if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
for (int i = 10; ~i; --i) {
if (dep[fa[x][i]] >= dep[y]) {
res = min(res, minn[x][i]);
x = fa[x][i];
}
}
if (x == y) return res;
for (int i = 10; ~i; --i) {
if (fa[x][i] != fa[y][i]) {
res = min(res, minn[x][i]);
res = min(res, minn[y][i]);
x = fa[x][i];
y = fa[y][i];
}
}
res = min(res, minn[x][0]);
res = min(res, minn[y][0]);
return res;
}
