[NOI2010]超级钢琴题解

[NOI2010]超级钢琴题解

很妙的一道题，用到了 贪心 + 堆 + ST表

先考虑 \(k=1\) 的方法。

\(k=1\)

先对原序列前缀和。

然后枚举左端点，\(ans = \max_{r = l + a - 1}^{l + b - 1} (s_r - s_{l - 1})\), 如果要让 \(ans\) 最大，只需让 \(s_r\) 最大即可, 区间最大值可以用 \(ST表\) 来求。复杂度 \(O(n)\)

正解

像这种要求前 \(k\) 大， 目前会求最大的情况下可以考虑使用堆。

设五元组 \((x, l, r, p, mx)\) 表示 (左端点的位置(\(x\))，右端点所在区间(\(l,r\))，最优右端点位置(\(p\))，最大值(\(mx\)))

以 \(mx\) 为权值，维护大根堆。

对于每个点作为左端点都可以得到一个五元组，把它们都放到堆中。

堆顶即为当前最大值。

取出堆顶后，由于已经选了 \((x,p)\) 所以把它分成两个五元组 \((x,l,p-1,p_l,mx_l)\) 和 \((x,p+1,r,p_r,mx_r)\), 并放入堆中, \(p_l,mx_l,p_r,mx_r\) 可以用 \(ST表\) 求出。

把这个操作重复 \(k\) 次，每次结果的和即为所求。

Code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define int long long

using namespace std;

const int N = 5e5 + 10;
int st[N][30], d[N][30];

int n, k, l, r;
int a[N], lg[N];

int find(int x, int y)
{
	int k = lg[y - x + 1];
	if (st[x][k] > st[y - (1 << k) + 1][k])
	{
		return d[x][k];
	}
	else return d[y - (1 << k) + 1][k];
}

struct Node
{
	int x, l, r, p;

	bool operator < (const Node b) const
	{
		return a[find(l, r)] - a[x - 1] < a[find(b.l, b.r)] - a[b.x - 1];
	}
};

priority_queue<Node> q;

signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld", &n, &k, &l, &r);
	lg[1] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		scanf("%lld", &a[i]);
		a[i] = a[i - 1] + a[i];
		st[i][0] = a[i];
		d[i][0] = i;
	}
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		lg[i] = lg[i / 2] + 1;
	}
	for (int k = 1; k <= lg[n]; ++k)
	{
		for (int i = 1; i + (1ll << k) - 1 <= n; ++i)
		{
			if (st[i][k - 1] > st[i + (1ll << (k - 1))][k - 1])
			{
				st[i][k] = st[i][k - 1];
				d[i][k] = d[i][k - 1];
			}
			else
			{
				st[i][k] = st[i + (1ll << (k - 1))][k - 1];
				d[i][k] = d[i + (1ll << (k - 1))][k - 1];
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n - l + 1; ++i)
	{
		q.push((Node){i, min(n, i + l - 1), min(n, i + r - 1), find(min(n, i + l - 1), min(n, i + r - 1))});
	}
	int ans = 0;
	while (k--)
	{
		Node u = q.top();
		q.pop();
		ans += a[u.p] - a[u.x  - 1];
		if (u.l <= u.p - 1) q.push((Node){u.x, u.l, u.p - 1, find(u.l, u.p - 1)});
		if (u.p + 1 <= u.r) q.push((Node){u.x, u.p + 1, u.r, find(u.p + 1, u.r)});
	}
	cout <<ans << endl;
	return 0;
}