概率之我见(2016-9-24)
概率之我见
考虑一种观念:地球每年被行星撞击的概率为99%,之所以地球至今安然无恙,是因为地球的运气好。
这个观念从理论上是可以成立的,哪怕只是非常微小的概率,也表示可以发生。但是,我们知道这个观念不科学。如果换种观念:地球每年被行星撞击的概率为几亿亿分之一。那么这种观念显然比第一种科学的多。
以上,其实我是想说明如何去界定概率。对于不确定性,如何去定义几率才是科学的。我认为要考虑几点:1、非常小的概率一定不会频繁发生,如果频繁发生了,则不能用运气差来解释。2、对概率的界定,一定要有利于人类可以一定程度的控制这个事物。
本人提出以下几个概念:概率常域、应然事件、应然发生、应然不发生。
概率常域。常数表示一个数是固定不变的,常有长久不变的意思,如果这个数会变化,就不是常数了。考虑概率问题,概率属于0-1范围。概率常域表示概率在这个范围域之中,表示正常的概率事件,如果概率不在这个常域之中,那么这个不确定性事件就比较特殊,属于特殊的概率事件。
举例来说:把概率常域界定为0.0001-0.9999,那么抛硬币事件就在概率常域之中,属于正常概率事件。但买彩票,一般为几亿分之一的获奖概率,那么就是特殊概率事件。
概率常域之外的事件,我们定义为应然事件。应然事件表示这个事件会有应该的结果,应然发生表示这个事件应该会发生,应然不发生表示这个事件应该不会发生。之所以用应然这个词,参考于哲学中“应然、实然”这两个词,哲学中应然表示事物应该这个情况,实然表示事物实际的情况,应然≠实然。
对于概率小于概率常域的几率事件,比如进行一次抽奖中奖,我们都会认为这个事件应该不会发生。概率大于概率常域的几率事件,比如进行一次抽奖不会中奖,我们都会认为这个事件应该会发生(这里注意下,举例用的是“进行一次抽奖”,而不是“抽奖”,因为进行多次抽奖事件情况不同,多次抽奖概率会变化)。这里还要区别下“应然事件与必然事件”,应然事件有可能发生有可能不发生,但是必然事件必定发生,必然事件不对应不确定性,应然事件属于不确实性范畴。
我们再看看“地球每年被行星撞击的概率为99%,之所以地球至今安然无恙,是因为地球的运气好”这个观念,虽然概率上是存在的,但是由于频繁出现“应然不发生”、频繁不出现“应然发生”,那么我们就认为这个概率的界定不科学。
所以,通过引入“概率常域、应然事件、应然发生、应然不发生”这些概念,我们可以检验我们对几率的界定是否科学,若“应该发生”频繁不发生、“应然不发生”频繁发生,则表示我们需要修正对某个不确定事件概率的界定。
另外,还有一点需要强调的是,概率问题需要有正确的样本,记录抛硬币的结果,1万次可能存在连续15次都是正面朝上的情况,但是如果只选择这15次左右作为样本,则属于不正确的样本。正确的样本需要最大程度的减少运气这个因素。
二、概率的风险管理问题
考虑几个问题:①、99%几率成功的事件,已经成功300次了,是否需要停下来,等待事件出现一次失败,然后才开始进行。②、抛硬币,为保证有95%的几率抛出正面,选择抛5次,结果抛了4次都是反面,那么第5次正面的几率只有50%,这是否否定了原先的保证。③、玩赌博机有1%成功的几率,成功奖励100元,每玩一次赌博机需要放入1元的硬币,需要玩多少次最优。
问题①。这个需要区分事件是否为独立事件,过去事件的概率对未来是否有影响。如果是独立事件,并不是失败发生会提高成功几率。所以,如果事件连续的失败,也不表示下一次一定会出现成功。当然,如果频繁出现连续应然不发生,则需要重新衡量这个概率。
问题②。这个需要区分概率与条件概率、个体范畴与范围范畴。单独每次抛硬币个体概率为0.5,如果有5次机会,至少一次的概率会大于0.95。这个0.95表示的是未发生的5次机会情况下的概率情况,是个范围范畴,即使出现了0.05的情况,也不否定这5次的概率情况。如果已经出现4次反面,还剩一次机会,那么未发生的只有1次,概率为0.5,但是不否定“5次机会概率0.95这个判断”。这就相当于1次抛硬币出现正面,不能否定“硬币几率为0.5这个判断”的道理一样。
那么4次都是反面,第5次几率只有0.5,不满足“为了保证有95%的几率”,那么第5次是否需要放弃?“为了保证有95%的几率”指的是需要抛的次数,但是并不改变事物的属性,是指未发生的情况下,5次的几率为0.95,但是并不是低于0.95这个概率,就不抛硬币,否则一次硬币都不会被抛。同时,“为了保证有95%的几率”并不是指从头到尾都保证几率为0.95,从头到尾都保证几率为0.95就改变抛硬币个体范畴的属性了。但是,有人要问,把5次作为一个整体,那么基本属性不就是0.95吗?是的,概率是0.95,因为5次是一个整体,所以已经抛4次了,后面的1次概率是0.5,后面的5次概率是0.95。
那么,由于需要抛的次数为5次。别人抛了4次,但是我把别人的行为理解成为自己的行为,只是抛了1次。自己抛的1次概率依然是0.5,假如依然为背面,这只能说明“这5次事件没有出现0.95概率的结果”。这就意味着,独立事件中,即使成功率为0.99,别人失败了100次,也不表示你在101次会有特殊待遇。
那么,“为了保证有95%的几率”究竟意味着什么?这只是表示你需要准备5次机会来应对这个事情。如果有4次都失败了,为了保证还是有95%的机会,那就还要准备5次机会。如果只有第5次一次机会,这就说明你只有50%的机会。
只剩一次机会,风险就大了。那么第5次是否需要放弃,这个需要结合期望来判断。
如果5次中,只要一次正面就奖励2元,游戏结束。但是,一次正面都没有,需要惩罚10元。这种情况下,5次未知事件的期望为0.95*2-0.05*10=1.4,但是最后一次的期望就变成了0.5*2-0.5*10=-4元。因为损失不是平均分配,所以,放弃是个明智的选择。
如果5次中,正面就奖励2元,反面惩罚2元,游戏继续直到5次结束。期望都是0。这个根据个人的风险偏好了,考虑保本问题:2次中至少有1次就保本,概率=0.75;4次中至少有2次就保本,概率=0.6875。如果不玩这个游戏,是100%概率保本,所以不能仅以保本来考虑。那么考虑盈利概率:1次要赢1次是0.5,2次要赢2次是0.25,3次要赢至少2次是0.5,4次要赢至少3次是0.3125,5次要赢至少3次是0.5。显然,这个并没有多大的赌博价值。
如果5次中,只要一次正面就奖励10元,游戏结束。但是,一次正面都没有,需要惩罚10元。这种情况下,5次未知事件的期望为0.95*10-0.05*10=9,最后一次的期望就变成了0.5*10-0.5*10=0。这个值得一赌。
如果5次中,正面就奖励4元,反面惩罚2元,游戏继续直到5次结束。期望都是2。这种情况显然更值得一赌博。
综上,可以看出,在概率的风险控制中,有几个非常重要的关键:概率本身、条件概率、期望、条件期望、收益风险比。
这里需要考虑一个非常重要的问题:如果一个收益风险比是2:1的事件,概率为0.5,是否存在95%的把握可以让它至少保本。3次至少1次的概率0.875;8次至少2次概率0.96;12次至少3次概率0.98。所以,存在并且这个事件是值得进行。
问题③。期望为0.01,100次至少1次概率0.634,200次至少2次概率0.595,300次至少3次概率0.578……所以,100次为最优,且0.634的把握程度使得至少保本。同时,这个事件是以大于0.5的几率逼近0.5。若期望为负值,则以小于0.5的几率逼近0.5。
这类似抛硬币事件,但是如果收益风险比为1:1,而成功概率为0.6。2次中至少1次概率为0.84;4次中至少2次概率为0.82;6次中至少3次概率为0.82;56次中至少28次的几率为0.95。经过检验也得出,长期而言,期待大于0.5概率的常出现更能有较高的把握,期待小于0.5的概率常出现把握较低。
三、概率之应用
如果用简单的统计得出事件几率为0.1,不妨设概率常域为0.05-0.95。对于几率为0.1的事件,如果在超过28次(0.9的28次方=0.05)都没有发生,我们则认为概率计算需要修正。或者我们认为这个概率事件不是独立随机事件。
如果不假设事件的概率为独立随机事件。我们可以通过大数据假设随机过程的模式,模式不做精确性要求,因为我们主要感兴趣的是风险控制点。比如:如果假设随机过程的模式是直线型的,我们可以找出两次事件发生的最大距离N(如100),并且认为t=N时,事件的概率达到应然发生。把最大距离N的0.95或者0.85等位置作为风险管理位置(95、85位置等)。当下次事件连续95次或者85次都没有发生,我们认为事件即将发生,并且着手准备工作。
对不确定事件进行管理,必须要考虑期望。概率仅仅只是不确定事件的属性,必须结合概率的结果。
真实的世界,大多数事件概率都是不独立的,之所以有时把概率假设成独立事件,是为了简化。
观井映天
2016-9-24