中国剩余定理详解

中国剩余定理又叫孙子定理．孙子算经中有问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

• 意思就是说求一个数，这个数除以３余２，除以５余３，除以７余２，求这个数是多少？当然这个解有无数多种，我们只求出那个最小的那个数．

• 原处的解法说明是：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便可知。这个就是运用中国剩余定理的解法．下面具体说明：

首先我们容易知道如果x是这个其中的一个解，那么x+140*k也是这里面的解，140是这三个模的最小公倍数，k是整数．运用这个我们可以把三个式子给合并成两个式子，进而把解表示成 k1*2+k2*3+k3*4.其中k1%3=1且是５，７的最小公倍数，k2％=1且是３和７的最小公倍数，k3％7=2且是３和５的最小公倍数．容易验证每当除以3,5或7的时候，里面有两个为０，剩下一个和解一样．因此，改题就变为了如何求k1,k2,k3了．并为了保证最后的结果是最小的，要模上所有模数的最小公倍数

对与k1,k2,k3.我们容易想到用扩展欧几里得算法取求解，当然也可以用费马小定理去求．例如求k1我们可以转换成 35x+3y=1,其中35*x=k1.求法可以参考　逆元求法　同样的我们可以求出k2,k3.

附上个代码：

int  CRT(){
	int ans=0,M=m[1];
	for(int i=0;i<n;i++)M=M*m[i];
	for(int i=0;i<n;i++){
		int x,y,c;c=M/m[i];
		exgcd(c,m[i],x,y);
		ans+=x*c*b[i];
	}
	return ans%M;
}