摘要：
2022校赛 - G 食堂在哪里 四川大学在线评测系统 (scu.edu.cn) 换根dp 首先树dp \(f[u]\) ：以 \(u\) 为根的子树中的学生，到 \(u\) 这个点的距离和 \(g[u]\) ：以 \(u\) 为根的子树中的学生，包括 \(u\) 的学生，吃完 \(u\) 的面包后 阅读全文
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常见积性函数 线性筛求常见积性函数 设 \(f(n)\) 为积性函数 \(n=p_1^{e_1}*p_2^{e_2}*p_3^{e_3}*...p_k^{e_k}\), 设 \(p_1\) 为最小素因子 由积性函数性质，\(f(n) = f(\frac n{p_1^{e_1}})*f(p_1^{e_ 阅读全文
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狄利克雷卷积 f, g 为数论函数 \(h=f*g\), 即 \(h(n)=\sum\limits_{d_1*d2=n}f(d_1)*g(d_2)\) 性质 满足交换律 满足结合律，即 \(p(n)=(f*g)*h=f*(g*h)=\sum\limits_{d_1*d_2*d_3=n}f(d_1)* 阅读全文
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指数方程 求 $a^x\equiv b;(mod;m)$ 的最小非负整数解，其中 $\gcd(a,m)=1$ 暴力做法 因为最长 $\phi(m)$ 为一个循环，$\phi(m)$ 与 $m$ 是一个量级的，枚举这个循环，复杂度为 $O(m)$ BSGS算法 只适用于 $\gcd(a,m)=1$ 可 阅读全文
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阶 定义：满足 \(a^x \equiv1\;(mod\;m)\) 最小的 \(x\) 称为 \(a\) 模 \(m\) 的阶 性质：\(x\mid \phi(m)\) 求阶： 先将 \(\phi( m)\) 标准分解，\(phi(m)=p_1^{e_1}*p_2^{e_2}*...p_k^{e 阅读全文
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原根 定义：如果 \(g\;(mod\;m)\) 的阶为 \(\phi(m)\) 则 \(g\) 为 \(m\) 的原根 \(g^0,g^1,...g^{\phi(m)-1}\) 构成了模 \(m\) 的简化剩余系 （即 \([1,m-1]\) 中与 \(m\) 互质的数可以被原根 \(g\) 的阶 阅读全文
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欧拉定理 欧拉定理 \(gcd(a,m)=1\) 时， \(a^{x}\equiv a^{x \mod \phi(m)}\;(mod\;m)\) 扩展欧拉定理： \(a^{x}\equiv a^{x \mod \phi(m)+\phi(m)}\;(mod\;m)\) 证明： a 与 m 互质 阅读全文
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Lucas 定理 组合数取模 3 （适用于模数较小且为素数，组合数较大的情况） Lucas 定理 给定 n, m, p, p 为素数 把 n, m 拆解为 p 进制 \[ n=n_0*p^0+n_1*p^1+...+n_k*p^k\\ m=m_0*p^0+n_1*p^1+...+m_k*p^k\\ 阅读全文
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中国剩余定理 构造法（只适用模数两两互质的情况，CRT的本质思想） 对于解线性同余方程组 useless，因为完全可以被增量法代替 但是揭示了若模数两两互质，则线性同余方程组一定有解。 若模数为合数 \(q\), \(q=p_1^{e_1}*p_2^{e_2}*p_3^{e_3}*...p_k^{e 阅读全文
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扩展欧几里得算法 对于 \(a*x+b*y=m\), 可用 exgcd 求出 \(d=gcd(a,b)\) \(d\nmid m\) ,无解 \(d\mid m\), 则 exgcd 可解出 \(a*x+b*y=d\) 的两个解 \(xx,yy\) 令 \(a'=\frac ad,\;b'=\fra 阅读全文