Codeforces Round #769 (Div. 2) - D. New Year Concert

GCD + st表 + 二分

Problem - 1632D - Codeforces

题意

给出一个长度为 $n\;(1<=n<=2*10^5)$ 的数组 $a[i]\;(1<=a[i]<=10^9)$, 可以修改任何一个位置的数为任何一个正整数，对于任意一段区间 $[l,r]\;(1<=l<=r<=n)$，不能出现 $gcd(a[l],a[l+1],...,a[r])=r-l+1$

对于每个 $i(1<=i<=n)$ , 求把前 i 个数组成的数组修改好的最小操作次数

思路

1. 每次最优的修改是把当前的数改为一个极大的质数，这样包含这个数的区间肯定都是合法的

2. 记上一次修改的位置是 L，对于每一个右端点 r，从 L + 1 到 r 枚举左端点，逐个判断 $[l,r]$ 是否合法，有不合法的就把 $a[r]$ 改为大质数并更新 L

3. 上述策略是 $O(n^2)$ 的，但固定右端点，枚举左端点的过程是有单调性的，因为随着区间长度变小，区间gcd变大，因此可以二分找到

   区间gcd == 区间长度的位置

4. 区间gcd用st表预处理出

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl "\n"

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 2e5 + 10;
int n;
int a[N];
template<typename T> struct ST
{
    ST(T a[], int n){
        siz = n;
        g.resize(n+1);
        int t = __lg(n) + 1;
        for(int i=1;i<=n;i++) g[i].resize(t);
        
        for(int i = 1; i <= n; i++) g[i][0] = a[i];
        for(int j = 1; j < t; j++) 
        {
            for(int i = 1; i <= n - (1<<j)+1; i++)
            {
                g[i][j] = __gcd(g[i][j-1], g[i+(1 << (j-1))][j-1]);
            }
        }
    }
    T get_gcd(int l,int r)
	{
	    int k = __lg(r-l+1);
	    return __gcd(g[l][k], g[r-(1<<k)+1][k]);
    }   
private:
    int siz = 0;
    vector<vector<T>> g;
};


int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	ST<int> st(a, n);
	int cnt = 0;
	int L = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int l = L, r = i;
		while(l + 1 != r)
		{
			int mid = l + r >> 1;
			if (st.get_gcd(mid, i) >= i - mid + 1)
				r = mid;
			else
				l = mid;
		}
		int tmp = st.get_gcd(r, i);
		if (tmp == i - r + 1)
		{
			cnt++;
			L = i;
		}
		cout << cnt << " ";
	}	
	cout << endl;
    return 0;
}