2020ICPC沈阳I - Rise of Shadows

剩余系

Problem - I - Codeforces

题意

给定 $H,M,A$

$2<=H,M<=10^9,\;0<=A<=\frac {H*M}2$

假设一个钟表有 $H$ 小时，一小时有 $M$ 分钟，求一天中有多少整数分钟，满足时针、分钟夹角不超过 $\frac {2\pi A}{HM}$

思路

1. 时针角速度：$v_h=\frac {2\pi}{HM}$，分针角速度： $v_m=\frac {2\pi}{M}$

2. 设 $t$ 分钟时 $(v_m-v_h)*t\equiv \frac {2\pi A}{HM}\pmod {H*M}$

   即 $(H-1)*t\equiv A \pmod {H*M}$， 求有多少个 $t$ 满足 $(H-1)*t \mod ({H*M})<=A$

3. 在 $ax\equiv b\pmod m$ 中，令 $g=\gcd(a,m)$

   则 $x\in[0,m-1]$，在模 m 意义下 $a*x$ 有 $g$ 轮循环，每轮有 $0,a,2*a...$ 等 $\lfloor\frac mg\rfloor+1$ 种取值

4. 因此模为 $[1,A]$ 有 $\frac Ag$ 种取值

5. 对称地，模为 $[H*M-A,H*M-1]$ 与 $[1,A]$ 的 $x$ 取值的对应，也有 $\lfloor\frac Ag\rfloor$ 个， 再假设 模为 0 恒有一个

6. 有 $g$ 轮循环，答案为 $ans=(\lfloor\frac Ag\rfloor*2+1)*g$

7. 注意特判，当 $A == \frac {HM}2$ 时，所有分钟都是，即有 $H*M$ 个，但按上述算法，由于 $A==H*M-A$ ，会多算一个

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll H, M, A;
ll gcd(ll a, ll b)
{
	if (b == 0)
		return a;
	return gcd(b, a % b);
}

ll solve()
{
	if (A * 2 == H * M)
		return H * M;
	ll a = H - 1, m = H * M;
	ll g = gcd(m, a);
	ll ans = (A / g * 2 + 1) * g;
	return ans;
}

int main()
{
	cin >> H >> M >> A;
	cout << solve() << endl;
	return 0;
}