Codeforces Round #801 (Div. 2) - D2. Tree Queries (Hard Version)

树形DP

Problem - D2 - Codeforces

题意

有 $n(1<=n<=2*10^5)$ 个结点的树，可任选 k 个观察点 $x_1,x_2...x_k$，对于任意的某个点 t，可以分别给出到这 k 个观察点的距离（边权均为1）求 k 的最小值，使得任意两个结点的这 k 个距离不完全相同（即可以通过到这 k 个观察点的距离，区别出任意两个点）

思路

1. 对于 D1 的 n <= 2000, 可枚举根，分别建树
2. 如果根是一个观察点，那么对于任意一个子树 u，它的子树 $v_i$ 中最多只能有一个子树中完全没有观察点（如果有两个子树内都没有观察点，那这两个子树将无法区分出来）
3. 树形DP求出 $f[u]$ ：以 u 为根的子树内至少要有几个观察点，答案为 $f[root]$ + 1，因为根一定是观察点
4. 对于 $n<=2*10^5$, 可换根dp，但比较复杂；画图一下可以看出（感觉比赛的时候打表找规律更好一点），如果以度为 >= 3 的为根，根这个观察点是不必要的，因此找一个度 >= 3 的dp即可，答案不用 + 1

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;
#define endl "\n"

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 2e5 + 10;
const int INF = 1e9;
vector<vector<int> > G(N);
int n;
int f[N];
void add(int u, int v)
{
	G[u].push_back(v);
}

void init()
{
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		G[i].clear();
}

int dfs(int u, int fa)
{
	int sum = 0, k = 0;
	for (int v : G[u])
	{
		if (v == fa)
			continue;
		int t = dfs(v, u);
		if (!t) k++;
		sum += t;
	}
	return sum + max(k - 1, 0);
}
int solve()
{
	if (n == 1)
		return 0;
	int root, maxn = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (G[i].size() > maxn)
		{
			maxn = G[i].size();
			root = i;
		}
	}
	if (maxn <= 2)
		return 1;
	return dfs(root, -1);
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
	int T;
	cin >> T;
	while(T--)
	{
		cin >> n;
		init();
		for (int i = 1; i < n; i++)
		{
			int u, v;
			cin >> u >> v;
			add(u, v), add(v, u);
		}
		cout << solve() << endl;
	}
    return 0;
}