ABC265 F - Manhattan Cafe

前缀和优化DP

F - Manhattan Cafe (atcoder.jp)

题意

给定 n，d（n <= 100, d <= 1000）

在 n 维空间中, 给定两个点 p，q，求点 r 的数量，满足 r 与 p，q 的曼哈顿距离均 <= d

思路

首先考虑朴素dp，设 $f[k][i][j]$ 表示考虑前 k 维，r 与 p 的曼哈顿距离为 i，与 q 的曼哈顿距离为 j 的点的数量

对于第 k + 1 维，枚举 r 第 k + 1 维的坐标，进行转移

这样复杂度为 $O(nd^3)$

首先考虑优化空间，第一维可以滚动

再考虑优化转移复杂度，朴素的转移复杂度为 $O(d)$, 但实际上不需要枚举第 k + 1 维每个坐标，这些坐标可以分成两类，记第 i 维 p，q，r 的坐标分别为 $p_i,q_i,r_i$

可以分为 $r_i$ 在 $p_i,q_i$ 中间或两侧

设 $z=|p-q|$

1. $r_i$ 在中间

从 0 到 z 枚举 t，$f[i][j]+=f[i-t][j-s]$, 因为 t + s == z, 为定值，因此所有的 $f[i-t][j-s]$ 都在以 $x+y=i+j-z$ 的副对角线上，用前缀和优化转移即可

2. $r_i$ 在两侧

同理，$f[i][j]+=f[i-t][j-s]$, t - s 为定值 z，因此所有的 $f[i-t][j-s]$ 都在 $y-x=j-i+z$ 的主对角线上，前缀和优化转移即可

r 在 p 右边同理

每次算完当前的 $f[i][j]$ 后，要更新两个对角线前缀和矩阵

总结

本题的关键是前缀和优化转移，但前缀和是对角线的形式，比较少见，而且考虑边界问题较多，出现负数时及时特判

优化转移时一定要画图！

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;
#define endl "\n"

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 1e3 + 10, M = 1e2 + 10, mod = 998244353;
int n, d;
int p[M], q[M];
ll f[N][N], C[2][N][N], E[2][N][N];
//C[i][j]表示以(i,j)为终点的主对角线的f的前缀和
//E[i][j]表示以(i,j)为终点的副对角线，从 右上 到 (i,j) 的f的前缀和
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> n >> d;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> p[i];
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> q[i];
	for (int i = 0; i <= d; i++)
		C[0][i][i] = 1;
	E[0][0][0] = 1;
	for (int k = 1; k <= n; k++)
	{
		int a = k & 1, b = a ^ 1;
		int z = abs(p[k] - q[k]);
		for (int i = 0; i <= d; i++)
		{
			for (int j = 0; j <= d; j++)
			{
				f[i][j] = 0;
				//前缀和优化转移
				//这里不能取到端点，因为端点在第二种情况被包括了
				if (i - 1 >= 0 && j - z - 1 >= 0)
					f[i][j] += C[b][i-1][j-z-1];
				if (j - 1 >= 0 && i - z - 1 >= 0)
					f[i][j] += C[b][i-z-1][j-1];
				f[i][j] %= mod;
				if (i + j >= z)
				{
					//找到合法的那一段对角线
					int r = min(i, i + j - z), l = i + j - z - min(j, i + j - z) - 1;
					f[i][j] += E[b][r][i+j-z-r];
					if (l >= 0)
						f[i][j] -= E[b][l][i+j-z-l];
					f[i][j] = (f[i][j] % mod + mod) % mod;
				}

				//更新两个对角线前缀和矩阵
				if (i >= 1 && j >= 1)
					C[a][i][j] = (C[a][i-1][j-1] + f[i][j]) % mod;
				else
					C[a][i][j] = f[i][j];
				if (i >= 1)
					E[a][i][j] = (E[a][i-1][j+1] + f[i][j]) % mod;
				else
					E[a][i][j] = f[i][j];
			}
		}
	}

	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i <= d; i++)
		for (int j = 0; j <= d; j++)
			ans = (ans + f[i][j]) % mod;
	cout << ans << endl;
    return 0;
}