CF Round#795 D - Max GEQ Sum

D - Max GEQ Sum

单调栈 + st表

1. 如果枚举每个区间的话，就算用 st 表 \(O(1)\) 查询，总复杂度也是 \(O(n^2)\)

2. 所以要想办法减少要枚举的区间，用类似于贪心的思路，只枚举那些更容易使得 区间最大值 < 区间和 的区间

   为了使区间最大值不变大，区间和不变小，可以想到用单调栈求出 \(a[i]\) 左右两边大于 \(a[i]\) 的第一个位置 \(L[i].\;R[i]\)（这就是若以 \(a[i]\) 为区间最大值，最多可左右拓展这么多）

3. 枚举 \(a[i]\), 以 \(a[i]\) 作为最大值的区间 \([l,r]\;(L[i]+1<=l<=i<=r<=R[i]-1)\) 中是否存在不满足条件的区间

   若不满足条件，则 \(sum[l,i-1]+a[i]+sum[i+1,r]>a[i]\), 即 \(sum[l,i-1]+sum[i+1,r]>0\)

   因为可以 \(l=i,\;r=i\), 所以 \(sum[l,i-1]\) 与 \(sum[i+1,r]\) 都可以为 0，所以 \(sum[l,i-1]+sum[i+1,r]>0\)

   等价于 \(sum[l,i-1]>0\;or\;sum[i+1,r]>0\), 答案就是 NO

4. 因为 \(L[i]+1<=l<=i\), 所以就看最大的 \(sum[l,i-1]\) 是否大于 0，可以用 st 表 求出 \([L[i]+1,i-1]\) 的后缀和最大值，减去 \(suf[i]\) 就算 \(sum[l,i-1]\) 的最大值（这里用后缀和的原因是区间右端点是固定的，而左端点不固定）

5. 同理，看最大的 \(sum[i+1,r]\) 是否大于 0 用前缀和来判断

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e5 + 10, M = 18;
const ll INF = 1e18;
ll f[N][M], g[N][M], a[N], pre[N], suf[N];
int L[N], R[N];
int Log[N];
int n, m;
void init()
{
    for (int j = 0; j < M; j++)
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
            if (!j)
                f[i][j] = pre[i], g[i][j] = suf[i];
            else
            {
            	f[i][j] = max(f[i][j-1], f[i + (1 << j-1)][j-1]);
            	g[i][j] = max(g[i][j-1], g[i + (1 << j-1)][j-1]);
            }
                
}

ll query(int l, int r, ll f[][M])
{
	if (l > r)
		return -INF;
    int len = r - l + 1;
    int k = Log[len];
    return max(f[l][k], f[r - (1<<k) + 1][k]);
}

bool solve()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> a[i];
		pre[i] = pre[i-1] + a[i];
	}
	a[n+1] = 0;
	for (int i = n; i >= 1; i--)
		suf[i] = suf[i+1] + a[i];
	init();
	stack<int> stk;
	stk.push(0);
	a[0] = INF;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		while(!stk.empty() && a[stk.top()] <= a[i]) stk.pop();
		L[i] = stk.top();
		stk.push(i);
	}
	while(!stk.empty()) stk.pop();
	stk.push(n + 1);
	a[n+1] = INF;
	for (int i = n; i >= 1; i--)
	{
		while(!stk.empty() && a[stk.top()] <= a[i]) stk.pop();
		R[i] = stk.top();
		stk.push(i);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (query(L[i] + 1, i - 1, g) - suf[i] > 0 || query(i + 1, R[i] - 1, f) - pre[i] > 0)
			return false;
	}
	return true;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    for (int i = 2; i < N; i++)
		Log[i] = Log[i / 2] + 1;
    while(T--)
    	cout << (solve() ? "YES" : "NO") << endl;
    return 0;
}