CF EDU 101 D - Ceil Divisions

D - Ceil Divisions

构造

方法1

可考虑先把除了 1，2，k 的所有数跟 n 搞一下，这个一定是花 n - 4 次让除了 k，n 都满足条件

现在就让 n，k 变成 1

1. 一直让 n 跟 k 搞，需要 $\lceil log_kn\rceil$次
2. 一直让 k 跟 2 搞，需要 $\lceil log_2k\rceil$ 次

求出 $\lceil log_kn\rceil+\lceil log_2k\rceil$ 最小的 $k$, 可以证明 这个值 <= 9

方法2

可以考虑根号算法，先让 $[\sqrt n+1,n-1]$ 跟 $n$ 搞， 每个数花 1 次；再让 $n$ 跟 $\sqrt n$ 搞，这时候相当于 $n$ 额外花了一次，类似于这样反复, $n$ 开 5 次根号就到 1 了，所以要额外花这么多次，也是满足操作在 n + 5 之内的

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 2e5 + 10;
PII ans[N];
int n, k;
int a[N];
int log(int a, int b)
{
	return ceil(log(a) / log(b));
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	int T;
	cin >> T;
	while(T--)
	{
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			a[i] = i;
		int minn = 1e9;
		for (int i = 2; i <= 50; i++)
		{
			if (minn > log(n, i) + log(i, 2))
			{
				minn = log(n, i) + log(i, 2);
				k = i;
			}
		}
		int cnt = 0;
		for (int i = 3; i < n; i++)
		{
			if (i == k)
				continue;
			a[i] = 1;
			ans[++cnt] = {i, n};
		}
			
		while(a[n] != 1)
		{
			ans[++cnt] = {n, k};
			a[n] = (a[n] + k - 1) / k;
		}
		if (k != 2)
		{
			while(a[k] != 1)
			{
				ans[++cnt] = {k, 2};
				a[k] = (a[k] + 1) / 2;
			}
		}
		// for (int i = 1; i <= n; i++)
			// cout << a[i] << " ";
		// cout << endl;
		cout << cnt << endl;
		for (int i = 1; i <= cnt; i++)
			cout << ans[i].first << " " << ans[i].second << endl;
	}
	return 0;
}