指数方程

指数方程

求 \(a^x\equiv b\;(mod\;m)\) 的最小非负整数解，其中 \(\gcd(a,m)=1\)

暴力做法

因为最长 \(\phi(m)\) 为一个循环，\(\phi(m)\) 与 \(m\) 是一个量级的，枚举这个循环，复杂度为 \(O(m)\)

BSGS算法

只适用于 \(\gcd(a,m)=1\)

可令 \(T=\sqrt m+2\) (加 2 是为了防止精度误差)

\(1<=x<=m\) 可表示为 \(x=q*T-r\), 其中 \(1<=q,r<=T\)

\(a^x\equiv b\;(mod\;m) \iff a^{q*T-r}\equiv b\;(mod\;m) \iff (a^T)^q\equiv b*a^r\;(mod\;m)\)

问题转化为 枚举 \(1<=q,r<=T\), \((a^T)^q\) 的序列与 \(b^r\) 的序列中是否有相同的元素，并找到 \(q\) 最小的那个

可用 map 或 哈希表解决，复杂度为 \(O(\sqrt m*logm)\) 或 $O(\sqrt m) $

指数方程1 - 题目 - Daimayuan Online Judge

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll qmi(ll a, ll b, ll p)
{
	ll ans = 1;
	while(b)
	{
		if (b & 1) ans = ans * a % p;
		b >>= 1;
		a = a * a % p;
	}
	return ans % p;
}
int solve(int a, int b, int m)
{
	int T = sqrt(m) + 2;
	unordered_map<int, int> mp;
	ll base = qmi(a, T, m);
	ll now = 1;
	for (int q = 1; q <= T; q++)
	{
		now = now * base % m;
		if (!mp.count(now)) mp[now] = q;
	}
	
	int ans = m + 1;
	now = b % m;
	for (int r = 1; r <= T; r++)
	{
		now = now * a % m;
		if (mp.count(now)) ans = min(ans, mp[now] * T - r);
	}
	if (ans >= m) return -1;
	return ans;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	int T;
	cin >> T;
	while(T--)
	{
		int a, b, m;
		cin >> a >> b >> m;
		cout << solve(a, b, m) << endl;
	}	
	return 0;
}