指数方程

指数方程

求 $a^x\equiv b\;(mod\;m)$ 的最小非负整数解，其中 $\gcd(a,m)=1$

暴力做法

因为最长 $\phi(m)$ 为一个循环，$\phi(m)$ 与 $m$ 是一个量级的，枚举这个循环，复杂度为 $O(m)$

BSGS算法

只适用于 $\gcd(a,m)=1$

可令 $T=\sqrt m+2$ (加 2 是为了防止精度误差)

$1<=x<=m$ 可表示为 $x=q*T-r$, 其中 $1<=q,r<=T$

$a^x\equiv b\;(mod\;m) \iff a^{q*T-r}\equiv b\;(mod\;m) \iff (a^T)^q\equiv b*a^r\;(mod\;m)$

问题转化为 枚举 $1<=q,r<=T$, $(a^T)^q$ 的序列与 $b^r$ 的序列中是否有相同的元素，并找到 $q$ 最小的那个

可用 map 或 哈希表解决，复杂度为 $O(\sqrt m*logm)$ 或 $O(\sqrt m)$

指数方程1 - 题目 - Daimayuan Online Judge

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll qmi(ll a, ll b, ll p)
{
	ll ans = 1;
	while(b)
	{
		if (b & 1) ans = ans * a % p;
		b >>= 1;
		a = a * a % p;
	}
	return ans % p;
}
int solve(int a, int b, int m)
{
	int T = sqrt(m) + 2;
	unordered_map<int, int> mp;
	ll base = qmi(a, T, m);
	ll now = 1;
	for (int q = 1; q <= T; q++)
	{
		now = now * base % m;
		if (!mp.count(now)) mp[now] = q;
	}
	
	int ans = m + 1;
	now = b % m;
	for (int r = 1; r <= T; r++)
	{
		now = now * a % m;
		if (mp.count(now)) ans = min(ans, mp[now] * T - r);
	}
	if (ans >= m) return -1;
	return ans;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	int T;
	cin >> T;
	while(T--)
	{
		int a, b, m;
		cin >> a >> b >> m;
		cout << solve(a, b, m) << endl;
	}	
	return 0;
}