原根

原根

定义：如果 \(g\;(mod\;m)\) 的阶为 \(\phi(m)\) 则 \(g\) 为 \(m\) 的原根

\(g^0,g^1,...g^{\phi(m)-1}\) 构成了模 \(m\) 的简化剩余系 （即 \([1,m-1]\) 中与 \(m\) 互质的数可以被原根 \(g\) 的阶表示出来）

只有 \(1, 2, 4, p^a,2*p^a\;(p\;为奇素数,\;a\;为正整数)\) 存在原根

对于素数 \(p\)， 有如下性质

1. \(p\) 的原根有 \(\phi(p-1)\) 个

2. \(p\) 的原根大致随机分布在 2 ~ p - 1 中

3. 由 1，2 两条性质，\(p\) 的最小的原根不会很大，因此求最小原根只需从 2 开始枚举，判断是否是原根即可

4. \(p\) 的原根不一定是 \(p^2\) 的原根，\(p^2\) 的原根一定是更高次的原根

原根 - 题目 - Daimayuan Online Judge

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;
int divisor[100];

ll qmi(ll a, ll b, ll p)
{
	ll ans = 1;
	while(b)
	{
		if (b & 1) ans = ans * a % p;
		b >>= 1;
		a = a * a % p;
	}
	return ans % p;
}
int solve(int p)
{
	int t = 0;
	int now = p - 1;
	for (int i = 2; i <= now / i; i++)
	{
		if (now % i) continue;
		divisor[++t] = i;
		while(now % i == 0) now /= i;
	}
	if (now > 1) divisor[++t] = now;
	
	for (int g = 1; g < p; g++)
	{
		bool flag = true;
		for (int i = 1; i <= t; i++)
		{
			int d = divisor[i];
			if (qmi(g, (p - 1) / d, p) == 1) //如果 phi(p-1) 能除以一个因子，那这个 g 就不是原根
			{
				flag = false;
				break;
			}
		}
		if (flag) return g;
	}
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d\n", &T);
	while(T--)
	{
		int p;
		scanf("%d", &p);
		printf("%d\n", solve(p));
	}
	return 0;
}