Lucas 定理

Lucas 定理

组合数取模 3 （适用于模数较小且为素数，组合数较大的情况）

Lucas 定理

给定 n, m, p, p 为素数

把 n, m 拆解为 p 进制

\[n=n_0*p^0+n_1*p^1+...+n_k*p^k\\ m=m_0*p^0+n_1*p^1+...+m_k*p^k\\ \tbinom nm=\tbinom {n_0}{m_0}*\tbinom {n_1}{m_1}*\tbinom {n_2}{m_2}*...*\tbinom {n_k}{m_k} \]

当 \(a<b,\;\;\tbinom {a}{b}=0\)

时间复杂度：

预处理阶乘和阶乘逆元：\(O(p)\)

求单个组合数 \(O(logn)\)

应用：

1. 求 p 很小且为素数的组合数
2. p == 2 时，若 \(\tbinom nm \mod 2 ==1\), 则 必须 \(n_i>=m_i\), 因为取值只有 0 和 1，所以必须 \(m_i\) 为 1 时 \(n_i\) 也要为 1，即 (n & m) == m
3. 数位 dp 相关
4. 若 \(\tbinom {a+b}a \mod p \neq 0\), 则 \(a+b\) 在 \(p\) 进制加法中不进位

组合数取模3 - 题目 - Daimayuan Online Judge

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 10;
int p;
ll n, m;

ll fac[N], fnv[N];
ll qmi(ll a, ll b)
{
	ll ans = 1;
	while(b)
	{
		if (b & 1)
			ans = ans * a % p;
		b >>= 1;
		a = a * a % p;
	}
	return ans % p;
}

void presolve()
{
	fac[0] = fnv[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= N - 10; i++)
	{
		fac[i] = fac[i-1] * i % p;
		fnv[i] = qmi(fac[i], p - 2);
	}
}

ll C(ll n, ll m)
{
	if (m < 0 || n - m < 0)
		return 0;
	return fac[n] * fnv[m] % p * fnv[n-m] % p;
}


int main()
{
	int T;
	scanf("%d%d", &p, &T);
	presolve();
	while(T--)
	{
		scanf("%lld%lld", &n, &m);
		ll ans = 1;
		while(n > 0 || m > 0)
		{
			ans = ans * C(n % p, m % p) % p;
			n /= p, m /= p;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}	
	return 0;
}