扩展欧几里得

扩展欧几里得算法

对于 $a*x+b*y=m$, 可用 exgcd 求出 $d=gcd(a,b)$

1. $d\nmid m$ ,无解

2. $d\mid m$, 则 exgcd 可解出 $a*x+b*y=d$ 的两个解 $xx,yy$

   令 $a'=\frac ad,\;b'=\frac bd,\;m'=\frac md$

   则 $a*x+b*y=m$ 的两个解为 $x_0=xx*m',\;y_0=yy*m'$

   特解为 $x=x_0+t*b',\;y=y_0+t*a'$

   且 $x_0,\;y_0$ 为最靠近 $0$ 的一对解, 因此若 $x_0<0$, 则令 $x_0=x_0+b'$ 即可得到最小非负整数解

模板

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ll xx, yy;
	ll d = exgcd(b, a % b, xx, yy);
	x = yy, y = xx - a / b * yy;
	return d;
}