CF EDU 106 D - The Number of Pairs

D - The Number of Pairs

数论，线性筛

给定 \(c,d,x\) 求满足 \(c*[a,b]-d*(a,b)=x\) 的 \((a,b)\) 对数 （当 \(a\neq b\) 时，\((a,b),(b,a)\) 算两对）

记 \(lcm=[a,b],\;gcd=(a,b)\)

\(a'=\frac a{gcd}\;b'=\frac b{gcd}\)

\(lcm=\frac {a*b}{gcd}=\frac {a'*b'*gcd*gcd}{gcd}=a'*b'*gcd\)

因此

\(c*a'*b'*gcd-d*gcd=x\)

\(gcd=\frac x{c*a'*b'-d}\)

所以 \(gcd\) 是 \(x\) 的因子，\(O(\sqrt x)\) 枚举 \(x\) 的因子 \(y=c*a'*b'-d\)

\(a'*b'=\frac {y+d}c\) , 此时 \(\frac {y+d}c\) 为常数，记为 \(t\)

因为 \(a'\) 与 \(b'\) 互质，所以将 \(t\) 标准分解后，\(t\) 有 \(cnt\) 种素因子，则 \((a',b')\) 对数有 \(2^{cnt}\) 个（一种素因子要么在 \(a'\), 要么在 $b' $）

但标准分解 \(t\) 太慢，设 \(f[t]\) 为 \(t\) 有几种素因子，可以发现 \(f\) 有类似积性函数的递推关系：

1. \(f[p]=1\)
2. \(p\nmid i,\;f[i*p]=f[i]+1\)
3. \(p\mid i,\; f[i*p]=f[i]\)

因此可利用线性筛预处理出 \(f[t]\)

注意 \(t=\frac {y+d}c\), 范围为 \(2e7\) 而非 \(1e7\), 要线性筛预处理到 \(2e7\)

CF EDU 106 D - The Number of Pairs

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 2e7 + 10;
int pr[N], f[N], cnt;
bool st[N];

ll qmi(ll a, ll b)
{
	ll ans = 1;
	while(b)
	{
		if (b & 1)
			ans *= a;
		b >>= 1;
		a *= a;
	}
	return ans;
}

void get_primes(int n)
{
	memset(st, true, sizeof st);
	st[1] = false;
	f[1] = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (st[i])
		{
			pr[++cnt] = i;
			f[i] = 1;
		}
		for (int j = 1; j <= cnt && pr[j] <= n / i; j++)
		{
			int p = pr[j];
			st[i * p] = false;
			if (i % p == 0)
			{
				f[i * p] = f[i];
				break;
			}
			else
				f[i * p] = f[i] + 1;
		}
	}
}


int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	get_primes(N - 10);
	int T;
	cin >> T;
	while(T--)
	{
		int c, d, x;
		cin >> c >> d >> x;
		vector<int> factor;
		for (int i = 1; i <= x / i; i++)
		{
			if (x % i)
				continue;
			factor.push_back(i);
			if (i != x / i)
				factor.push_back(x / i);
		}
		ll ans = 0;
		for (int y : factor)
		{
			if ((y + d) % c)
				continue;
			int t = (y + d) / c;
			ans += qmi(2, f[t]);
		}
		cout << ans << endl;
	}	
	return 0;
}