CF EDU 106 D - The Number of Pairs

D - The Number of Pairs

数论，线性筛

给定 $c,d,x$ 求满足 $c*[a,b]-d*(a,b)=x$ 的 $(a,b)$ 对数 （当 $a\neq b$ 时，$(a,b),(b,a)$ 算两对）

记 $lcm=[a,b],\;gcd=(a,b)$

$a'=\frac a{gcd}\;b'=\frac b{gcd}$

$lcm=\frac {a*b}{gcd}=\frac {a'*b'*gcd*gcd}{gcd}=a'*b'*gcd$

因此

$c*a'*b'*gcd-d*gcd=x$

$gcd=\frac x{c*a'*b'-d}$

所以 $gcd$ 是 $x$ 的因子，$O(\sqrt x)$ 枚举 $x$ 的因子 $y=c*a'*b'-d$

$a'*b'=\frac {y+d}c$ , 此时 $\frac {y+d}c$ 为常数，记为 $t$

因为 $a'$ 与 $b'$ 互质，所以将 $t$ 标准分解后，$t$ 有 $cnt$ 种素因子，则 $(a',b')$ 对数有 $2^{cnt}$ 个（一种素因子要么在 $a'$, 要么在 $b'$）

但标准分解 $t$ 太慢，设 $f[t]$ 为 $t$ 有几种素因子，可以发现 $f$ 有类似积性函数的递推关系：

1. $f[p]=1$
2. $p\nmid i,\;f[i*p]=f[i]+1$
3. $p\mid i,\; f[i*p]=f[i]$

因此可利用线性筛预处理出 $f[t]$

注意 $t=\frac {y+d}c$, 范围为 $2e7$ 而非 $1e7$, 要线性筛预处理到 $2e7$

CF EDU 106 D - The Number of Pairs

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 2e7 + 10;
int pr[N], f[N], cnt;
bool st[N];

ll qmi(ll a, ll b)
{
	ll ans = 1;
	while(b)
	{
		if (b & 1)
			ans *= a;
		b >>= 1;
		a *= a;
	}
	return ans;
}

void get_primes(int n)
{
	memset(st, true, sizeof st);
	st[1] = false;
	f[1] = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (st[i])
		{
			pr[++cnt] = i;
			f[i] = 1;
		}
		for (int j = 1; j <= cnt && pr[j] <= n / i; j++)
		{
			int p = pr[j];
			st[i * p] = false;
			if (i % p == 0)
			{
				f[i * p] = f[i];
				break;
			}
			else
				f[i * p] = f[i] + 1;
		}
	}
}


int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	get_primes(N - 10);
	int T;
	cin >> T;
	while(T--)
	{
		int c, d, x;
		cin >> c >> d >> x;
		vector<int> factor;
		for (int i = 1; i <= x / i; i++)
		{
			if (x % i)
				continue;
			factor.push_back(i);
			if (i != x / i)
				factor.push_back(x / i);
		}
		ll ans = 0;
		for (int y : factor)
		{
			if ((y + d) % c)
				continue;
			int t = (y + d) / c;
			ans += qmi(2, f[t]);
		}
		cout << ans << endl;
	}	
	return 0;
}