CF EDU 111 D - Excellent Arrays

D - Excellent Arrays

思维 + 组合数学 + 树形结合

$a_i+a_j=i+j$, 看到这样的形式先移项变成 $a_i- i=-(a_j-j)$, 令 $k_i=a_i-i$, 即 $k_i=-k_j$

$k_i=a_i-i$ 即 $y=x+k_i$, 所以若 $a_i$ 在 $y=x+k_i$ 这条直线上，则偏移量就是 $k_i$

本题要让 $F(a)$ 尽量大，就算让一半的 $a_i$ 的偏移量为 $k$, 另一半为 $-k$ (均值不等式)

所以可以枚举偏移量 $k$, 对应的两条直线 $y=x+k,\;y=x-k$, 看能否让所有的 $(i,a_i)$ 一半落在第一条直线上，另一半落在第二条直线上

这种情况下每个点 $(i,a_i)$ 的偏移量均可选择 $k,-k$，且要一半选 $k$, 令一半选 $-k$

若 $n$ 为偶数，因此有 $\binom n{\frac n2}$ 个

若 $n$ 为奇数，设 $a=\frac n2，\;b=n-a$, 则可以选择是 $a$ 个 $k$, 或是 $a$ 个 $-k$, 有 $\binom na+\binom nb=2*\binom na$ 个

这种情况会限制了一些下标的偏移量只能是 $k$ 或 $-k$, 因此这些点已经固定了，剩下的没有固定，算出这些对应的方案数，同样需要对 $n$ 的奇偶性分类套路

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 2e5 + 10;
int n, l, r;
ll fac[N], finv[N];

ll qmi(ll a, ll b)
{
	ll ans = 1;
	while(b)
	{
		if (b & 1)
			ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans % mod;
}

void presolve()
{
	fac[0] = finv[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= N - 10; i++)
		fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
	finv[N-10] = qmi(fac[N-10], mod - 2);
	for (int i = N - 11; i >= 1; i--)
		finv[i] = finv[i+1] * (i + 1) % mod;
}

ll C(int n, int m)
{
	if (m < 0 || n - m < 0)
		return 0;
	return fac[n] * finv[m] % mod * finv[n-m] % mod;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	int T;
	cin >> T;
	presolve();
	while(T--)
	{
		cin >> n >> l >> r;
		int a = n / 2, b = n - a;
		int t = min(1 - l, r - n);
		ll ans = 0;
		if (n & 1)
			ans = 2 * t * C(n, a) % mod;
		else
			ans = t * C(n, a) % mod;
		for (int k = t + 1; ; k++)
		{
			int x = max(l + k - 1, 0);
			int y = max(n - r + k, 0);
			if (x + y > n)
				break;
			int rest = n - x - y;
			if (n & 1)
				ans += C(rest, n / 2 - x) + C(rest, n / 2 - y);
			else
				ans += C(rest, n / 2 - x);
			ans %= mod;
		}
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}