CF EDU118 D - MEX Sequences
D - MEX Sequences
dp
合法序列只有两种
- \(f[x][0]\) :序列最大值为 x,且序列中包含 1~ x 所有数
- \(f[x][1]\) :序列最大值为 x,且序列包含 [1, x-2] 所有数与 x
证明:因为当前的值 x 与 mex 的差不能超过 1,所以合法序列的 x = mex - 1, mex, mex + 1
- x = mex - 1, 则 x 已经在序列里出现过了 (集合不变)
- x = mex, 则 mex 更新为 x + 1 (集合扩展一个 x 或把 mex 这个坑填上)
- x = mex + 1, mex 不变 (集合扩展一个 x,继续留着或留下 mex 这个坑)
因此只会在序列最大值 - 1 这个地方留下一个坑,所以分为上述两种情况
转移:设当前的当前枚举到的数是 x
-
x 是最大值且加上 x 后是第 0 种序列
\(f[x][0]+=f[x-1][0]+f[x][0]\)
-
x 是最大值且加上 x 后是第 1 种序列
\(f[x][1]+=f[x][1] + f[x-2][0]\)
-
x + 1 是最大值且加上 x 后是第 0 种序列
此时 mex 为 x + 2, |x - mex| > 1, 不能转移
-
x + 1 是最大值且加上 x 后是第 1 种序列
加上 x 后 x 这个数是存在的,不可能是第 1 种序列,不能转移
-
x + 2 是最大值且加上 x 后是第 0 种序列
此时 mex 为 x + 3, |x - mex| > 1, 不能转移
-
x + 2 是最大值且加上 x 后是第 1 种序列
此时 mex 为 x + 1,合法, \(f[x+2][1]+=f[x+2][1]\)
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5e5 + 10;
const int mod = 998244353;
int n;
ll f[N][2];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
int T;
cin >> T;
while(T--)
{
cin >> n;
fill(f[0], f[0] + 2 * (n + 2), 0);
f[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int x;
cin >> x;
x++;
f[x][0] += f[x-1][0] + f[x][0];
f[x][1] += f[x][1];
if (x >= 2)
f[x][1] += f[x-2][0];
f[x+2][1] += f[x+2][1];
f[x][0] %= mod, f[x][1] %= mod, f[x+2][1] %= mod;
}
ll ans = 0;
for (int i = 1; i <= n + 1; i++)
ans = (ans + f[i][0] + f[i][1]) % mod;
cout << ans << endl;
}
return 0;
}