ABC361F x=a^b（容斥，莫比乌斯反演）

题意

求 $1$ ~ $n$ 中有多少数 $x$ 可以写成 $x=a^b$ 的形式（其中 $b\ge 2$）

$n\le 10^{18}$

容斥

显然 $1$ 是可以写成 $1^b$ 的，我们单独讨论这种情况，以下默认 $a\ge 2$

发现一个数有可能有很多种 $a^b$ 的写法，比如 $64=2^6=4^3=8^2$

显然当 $b$ 不是质数时，就一定可以把 $b$ 拆得更小，即 $x=a^b=(a^p)^{\frac{b}{p}}$。所以我们不妨忽略 $b$ 不是质数的情况，即只统计 $a^p$（$p$ 为质数）。

对于一个 $b$，有 $a=2,3,\dots,\lfloor\sqrt[b]{n}\rfloor-1$ 使得 $a^b$ 符合题意。

但是答案并不是所有 $\lfloor\sqrt[b]{n}\rfloor-1$ 之和，比如 $b=2$ 和 $b=3$ 时，都会统计到 $x=64=8^2=4^3$，所以我们考虑容斥。

• 先加入 $b=p_i$ 的情况，即 $a^2,a^3,a^5,\dots$
• 再除去 $b=p_ip_j$ 的情况，即 $a^{2\times 3},a^{2\times 5}\dots$
• 再加入 $b=p_ip_jp_k$ 的情况
• $\dots$

其中 $b$ 的容斥系数与其质因数个数有关，且含平方因子的 $b$ 系数为 $0$。不难发现这就是 $-\mu(b)$，所以最后答案为

$$1-\sum\limits_{b=2}^{\log_2{n}}\mu(b)\cdot(\lfloor\sqrt[b]{n}\rfloor-1)$$