卡特兰数入门
卡特兰数可以解决一些计数问题,还是挺常用的。
前几项是 1,1,2,5,14,42,132,…
下文用 Cn 表示卡特兰数第 n 项,n 从 0 开始。
公式
如果不记得通项,可以用下面的一些经典模型推导出来。
通项
也可以写成
其它公式
如果见到了下面这两种,要记得是卡特兰数,可以 O(1) 计算。
经典问题
网格路径问题
从 (0,0) 走到 (n,n),只能向右或向上走,不能穿过 y=x 的路径条数为 Cn。
如果不考虑“不穿过”的限制,相当于在 2n 个点选择 n 次向右(或向上),这是个经典问题,方案数为 (2nn)。现在只需要减去不合法的方案数。
考虑一条不合法的路径,穿过 y=x 相当于在某个点触碰到了 y=x+1。将这个触碰点之后的右、上移动交换,那么最后一定走到 (n−1,n+1),因此不合法路径的数量为 (2nn−1)。
那么方案为 (2nn)−(2nn−1),这是卡特兰数。
括号序列(±1序列)问题
这两个问题本质上是一样的。
括号序列:求有多少长度为 2n 的合法括号序列。
±1序列:将 n 个 1 和 n 个 −1 排列,使得任意前缀之和 ≥0。
以±1序列为例,总数是 (2nn),只需要减去不合法数量。考虑一种不合法排列,必然有一个位置 p 的前缀和 =−1,则 1∼p 中 −1 比 1 多一个, p+1∼n 中 1 比 −1 多一个。现在将 p+1∼n 的数字取反,整个序列就变成由 n+1 个 1 和 n−1 个 −1 组成的序列,方案数为 (2nn−1)。
最终还是 (2nn)−(2nn−1),是卡特兰数。
进出栈问题
1,2,3,…,n 依次进栈,求出栈序列的数量。
枚举 1 的进出栈时间,整个过程可以表示为
- 1 进栈。
- 2∼p 全部进栈并出栈。
- 1 出栈。
- p+1∼n 全部进栈并出栈。
设 fn 表示 n 个不同的数的出栈序列数量,那么
这是卡特兰数的一个公式。
二叉树形态问题
求 n 个点的二叉树有多少种形态。
设 fn 表示 n 个点二叉树的形态数量,将左子树看成一个部分,右子树看做另一个部分,那么可以得到转移
这与 fn=n∑k=1fk−1fn−k 是一样的,是卡特兰数。
变式及应用
Problem 1
将 2n 个不同的数分为两个大小为 n 的递增数列 a,b,求使得 ∀i,ai<bi 的方案数。
考虑这 2n 个数的一个排列,我们将其中 a 中的数替换为 “(”,b 中的数替换为 “)”,那么 a,b 是合法划分当且仅当括号序列合法。所以方案数就是卡特兰数 Cn。
如何理解这个转化呢?对于转化后的括号序列,对于从左到右的每一个左括号,将其看做 a1,a2,a3…,与之匹配的右括号看做 b1,b2,b3,…。那么显然只有合法的括号序列对答案有贡献,并且不同的合法括号序列对应不同的划分方案。
本文作者:hzy1
本文链接:https://www.cnblogs.com/hzy1/p/16869605.html
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