卡特兰数入门

卡特兰数可以解决一些计数问题，还是挺常用的。

前几项是 $1,1,2,5,14,42,132,\dots$

下文用 $C_n$ 表示卡特兰数第 $n$ 项，$n$ 从 $0$ 开始。

公式

如果不记得通项，可以用下面的一些经典模型推导出来。

通项

$$C_n=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}$$

也可以写成

$$C_n=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}$$

其它公式

如果见到了下面这两种，要记得是卡特兰数，可以 $O(1)$ 计算。

$$C_n=\sum\limits_{i=1}^n C_{i-1}C_{n-i}$$

$$C_n=\frac{4n-2}{n+1}C_{n-1}$$

经典问题

网格路径问题

从 $(0,0)$ 走到 $(n,n)$，只能向右或向上走，不能穿过 $y=x$ 的路径条数为 $C_n$。

如果不考虑“不穿过”的限制，相当于在 $2n$ 个点选择 $n$ 次向右（或向上），这是个经典问题，方案数为 $\binom{2n}{n}$。现在只需要减去不合法的方案数。

考虑一条不合法的路径，穿过 $y=x$ 相当于在某个点触碰到了 $y=x+1$。将这个触碰点之后的右、上移动交换，那么最后一定走到 $(n-1,n+1)$，因此不合法路径的数量为 $\binom{2n}{n-1}$。

那么方案为 $\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}$，这是卡特兰数。

括号序列（±1序列）问题

这两个问题本质上是一样的。

括号序列：求有多少长度为 $2n$ 的合法括号序列。
±1序列：将 $n$ 个 $1$ 和 $n$ 个 $-1$ 排列，使得任意前缀之和 $\ge 0$。

以±1序列为例，总数是 $\binom{2n}{n}$，只需要减去不合法数量。考虑一种不合法排列，必然有一个位置 $p$ 的前缀和 $=-1$，则 $1\sim p$ 中 $-1$ 比 $1$ 多一个， $p+1\sim n$ 中 $1$ 比 $-1$ 多一个。现在将 $p+1\sim n$ 的数字取反，整个序列就变成由 $n+1$ 个 $1$ 和 $n-1$ 个 $-1$ 组成的序列，方案数为 $\binom{2n}{n-1}$。

最终还是 $\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}$，是卡特兰数。

进出栈问题

$1,2,3,\dots,n$ 依次进栈，求出栈序列的数量。

枚举 $1$ 的进出栈时间，整个过程可以表示为

1. $1$ 进栈。
2. $2\sim p$ 全部进栈并出栈。
3. $1$ 出栈。
4. $p+1\sim n$ 全部进栈并出栈。

设 $f_n$ 表示 $n$ 个不同的数的出栈序列数量，那么

$$f_n=\sum\limits_{k=1}^{n}f_{k-1}f_{n-k}$$

这是卡特兰数的一个公式。

二叉树形态问题

求 $n$ 个点的二叉树有多少种形态。

设 $f_n$ 表示 $n$ 个点二叉树的形态数量，将左子树看成一个部分，右子树看做另一个部分，那么可以得到转移

$$f_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}f_{k}f_{n-k-1}$$

这与 $f_n=\sum\limits_{k=1}^nf_{k-1}f_{n-k}$ 是一样的，是卡特兰数。

变式及应用

Problem 1

将 $2n$ 个不同的数分为两个大小为 $n$ 的递增数列 $a,b$，求使得 $\forall i,a_i<b_i$ 的方案数。

考虑这 $2n$ 个数的一个排列，我们将其中 $a$ 中的数替换为 “$($”，$b$ 中的数替换为 “$)$”，那么 $a,b$ 是合法划分当且仅当括号序列合法。所以方案数就是卡特兰数 $C_n$。

如何理解这个转化呢？对于转化后的括号序列，对于从左到右的每一个左括号，将其看做 $a_1,a_2,a_3\dots$，与之匹配的右括号看做 $b_1,b_2,b_3,\dots$。那么显然只有合法的括号序列对答案有贡献，并且不同的合法括号序列对应不同的划分方案。

应用：牛客练习赛105C - 打牌的贝贝