卡特兰数入门

卡特兰数可以解决一些计数问题，还是挺常用的。

前几项是 \(1,1,2,5,14,42,132,\dots\)

下文用 \(C_n\) 表示卡特兰数第 \(n\) 项，\(n\) 从 \(0\) 开始。

公式

如果不记得通项，可以用下面的一些经典模型推导出来。

通项

\[C_n=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1} \]

也可以写成

\[C_n=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1} \]

其它公式

如果见到了下面这两种，要记得是卡特兰数，可以 \(O(1)\) 计算。

\[C_n=\sum\limits_{i=1}^n C_{i-1}C_{n-i} \]

\[C_n=\frac{4n-2}{n+1}C_{n-1} \]

经典问题

网格路径问题

从 \((0,0)\) 走到 \((n,n)\)，只能向右或向上走，不能穿过 \(y=x\) 的路径条数为 \(C_n\)。

如果不考虑“不穿过”的限制，相当于在 \(2n\) 个点选择 \(n\) 次向右（或向上），这是个经典问题，方案数为 \(\binom{2n}{n}\)。现在只需要减去不合法的方案数。

考虑一条不合法的路径，穿过 \(y=x\) 相当于在某个点触碰到了 \(y=x+1\)。将这个触碰点之后的右、上移动交换，那么最后一定走到 \((n-1,n+1)\)，因此不合法路径的数量为 \(\binom{2n}{n-1}\)。

那么方案为 \(\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}\)，这是卡特兰数。

括号序列（±1序列）问题

这两个问题本质上是一样的。

括号序列：求有多少长度为 \(2n\) 的合法括号序列。
±1序列：将 \(n\) 个 \(1\) 和 \(n\) 个 \(-1\) 排列，使得任意前缀之和 \(\ge 0\)。

以±1序列为例，总数是 \(\binom{2n}{n}\)，只需要减去不合法数量。考虑一种不合法排列，必然有一个位置 \(p\) 的前缀和 \(=-1\)，则 \(1\sim p\) 中 \(-1\) 比 \(1\) 多一个， \(p+1\sim n\) 中 \(1\) 比 \(-1\) 多一个。现在将 \(p+1\sim n\) 的数字取反，整个序列就变成由 \(n+1\) 个 \(1\) 和 \(n-1\) 个 \(-1\) 组成的序列，方案数为 \(\binom{2n}{n-1}\)。

最终还是 \(\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}\)，是卡特兰数。

进出栈问题

\(1,2,3,\dots,n\) 依次进栈，求出栈序列的数量。

枚举 \(1\) 的进出栈时间，整个过程可以表示为

1. \(1\) 进栈。
2. \(2\sim p\) 全部进栈并出栈。
3. \(1\) 出栈。
4. \(p+1\sim n\) 全部进栈并出栈。

设 \(f_n\) 表示 \(n\) 个不同的数的出栈序列数量，那么

\[f_n=\sum\limits_{k=1}^{n}f_{k-1}f_{n-k} \]

这是卡特兰数的一个公式。

二叉树形态问题

求 \(n\) 个点的二叉树有多少种形态。

设 \(f_n\) 表示 \(n\) 个点二叉树的形态数量，将左子树看成一个部分，右子树看做另一个部分，那么可以得到转移

\[f_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}f_{k}f_{n-k-1} \]

这与 \(f_n=\sum\limits_{k=1}^nf_{k-1}f_{n-k}\) 是一样的，是卡特兰数。

变式及应用

Problem 1

将 \(2n\) 个不同的数分为两个大小为 \(n\) 的递增数列 \(a,b\)，求使得 \(\forall i,a_i<b_i\) 的方案数。

考虑这 \(2n\) 个数的一个排列，我们将其中 \(a\) 中的数替换为 “\((\)”，\(b\) 中的数替换为 “\()\)”，那么 \(a,b\) 是合法划分当且仅当括号序列合法。所以方案数就是卡特兰数 \(C_n\)。

如何理解这个转化呢？对于转化后的括号序列，对于从左到右的每一个左括号，将其看做 \(a_1,a_2,a_3\dots\)，与之匹配的右括号看做 \(b_1,b_2,b_3,\dots\)。那么显然只有合法的括号序列对答案有贡献，并且不同的合法括号序列对应不同的划分方案。

应用：牛客练习赛105C - 打牌的贝贝