隔板法入门

基础内容（装球问题）

问题一：将 \(n\) 个相同的球装入 \(m\) 个相同的盒子里，盒子不能为空，求方案数。

相当于在 \(n-1\) 个空隙中，插入 \(m-1\) 块板子。这样相邻两个板子以及边界就代表盒子。

因此方案数为 \(\binom{n-1}{m-1}\)

问题二：将 \(n\) 个相同的球装入 \(m\) 个相同的盒子里，盒子可以为空，求方案数。

先将 \(n+m\) 个球放入 \(m\) 个盒子中，不允许为空。然后在每个盒子中取出一个球，就得到了 \(n\) 个球放入 \(m\) 个盒子中，允许为空的方案数。

因此方案数为 \(\binom{n+m-1}{m-1}\)。

应用

参考博客：https://blog.csdn.net/sdz20172133/article/details/81431066

问题一：求方程 \(x+y+z=n\) 的正整数解个数。

将 \(n\) 个球排成一排，球与球之间形成 \(n-1\) 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 \(x、y、z\) 之值。

因此解的个数为 \(\binom{n-1}{3-1}\)。

问题二：求方程 \(x+y+z=n\) 的非负整数解个数。

与问题一的区别在于 \(x,y,z\) 可以 \(=0\)，相当于装球问题中盒子可以为空的情况。

因此解的个数为 \(\binom{n+3-1}{3-1}\)。

问题三：把 \(10\) 个相同小球放入 \(3\) 个不同箱子，第一个箱子至少 \(1\) 个，第二个箱子至少 \(3\) 个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？

先分别在第 \(1,2\) 个盒子中装 \(3,1\) 个球，问题转化为将剩下的 \(6\) 个球装入 \(3\) 个盒子中，允许为空。情况数为 \(\binom{6+3-1}{3-1}=28\)。

问题四：将 \(20\) 个相同的小球放入编号分别为 \(1，2，3，4\) 的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。

与问题三类似，答案是 \(\binom{10+4-1}{4-1}\)。

问题五：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如 \(257，1459\) 等等，这类数共有几个？

因为前两位可以唯一确定这个数，因此只需要数出前两位的数量。

设这两位是 \(a,b\)，则需要满足 \(a+b\le 9\) 且 \(a\not=0\)。

还是考虑装球问题，相当于将 \(9\) 个球放入 \(3\) 个箱子中，且第一个箱子的球的数量 \(\ge 1\)。则第 \(1,2\) 个箱子中球的数量就分别代表 \(a,b\)。

类似问题三，方案数为 \(\binom{8+3-1}{3-1}=45\)。

问题六（选板法）：有 \(10\) 粒糖，如果每天至少吃一粒，吃完为止，求有多少种不同吃法？

\(10\) 颗糖对应 \(9\) 个空隙，先在 \(9\) 个空隙中放置 \(9\) 块板子。现在选择一些板子撤走，然后相邻两个板子之间的糖在同一天吃完。

方案数为 \(2^9=512\)。

问题七（讨论插板）：\(15\) 块糖，如果每天至少吃 \(3\) 块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？

由于每天至少吃 \(3\) 块，因此没办法像问题六一样选板。

不妨枚举吃糖的天数，例如吃 \(3\) 天，则预先给每一天分配 \(3\) 块，然后将剩下的 \(12\) 块分给三天，可以为空，方案数为 \(\binom{12+3-1}{3-1}=28\) 种。

最终的答案为 \(2+10+28+20=60\) 种。

问题八（逐步插板法）：在一张节目单中原有 \(6\) 个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加 \(3\) 个节目，共有几种情况？

添加一个节目显然很简单，就是 \(7\) 个空位选 \(1\) 个插入，共有 \(\binom{7}{1}\) 种方法。

于是考虑依次添加 \(3\) 个节目，总方案数为 \(\binom{7}{1}\binom{8}{1}\binom{9}{1}\)。

一些 OI 问题

问题九（[ZOJ3557] How Many Sets II）：\(n\) 个小球排成一排，选择 \(m\) 个使得没有选择相邻的两个球，求方案数。

先取出 \(m\) 个球，然后让剩下的 \(n-m\) 个球排成一排。

接下来将这 \(m\) 个球插入剩下球的 \(n-m+1\) 个空隙（包含两端）中

问题十（[HDU3037] Saving Beans）：有 \(n\) 个不同的盒子，在每个盒子中放一些球（可以不放），使得总球数 \(\le m\)，求方案数。

限制条件是总球数 \(\le m\)，而我们希望是 \(=m\)。

因此增加一个盒子，将 \(m\) 个球放入 \(n+1\) 个盒子中，允许为空。这样第 \(1\sim n\) 个盒子对应放球方案。

则方案数为 \(\binom{m+(n+1)-1}{(n+1)-1}=\binom{n+m}{n}\)。