用子集反演理解二项式定理

先看子集反演，这是比较好理解的。

\[g(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}f(T)\\ f(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}g(T) \]

考虑选一堆物品，可以令 \(f(S)\) 表示恰好选取集合 \(S\) 的方案，\(g(S)\) 表示选取 \(S\) 子集的方案。

当所有物品等价的时候，\(f(S),g(S)\) 都只与 \(|S|\) 有关。此时可以设 \(f(S)=F(|S|)，g(S)=G(|S|)\)。（则 \(F(|S|),G(|S|)\) 的自变量是集合大小）

带入子集反演，第一个式子：

\[\begin{align*} g(S)&=\sum\limits_{T\subseteq S}f(T)\\ &=\sum\limits_{T\subseteq S}F(|T|)\\ &=\sum\limits_{|T|\le |S|}\binom{|S|}{|T|}F(|T|)\\ \Rightarrow G(|S|)&=\sum\limits_{|T|\le |S|}\binom{|S|}{|T|}F(|T|)\\ \Leftrightarrow G(k)&=\sum\limits_{i=0}^k \binom{k}{i}F(i)\\ \end{align*} \]

注意中间增加的那个 \(\binom{|S|}{|T|}\) 是怎么来的呢？这是因为 \(\sum\) 的限制条件 \(|T|\le |S|\) 是不等价于 \(T\subseteq S\) 的，所以我们要求出 \(S\) 的子集中，有多少子集的大小为 \(|T|\) ，这个数就是 \(\binom{|S|}{|T|}\)。

带入第二个式子，同理也可以得到

\[F(k)=\sum\limits_{i=0}^k (-1)^{k-i}\binom{k}{i}G(i) \]

这样我们就证明了二项式反演的一种形式。

至于另外一种形式，似乎不能用子集反演推出来。