【题解】CF1604B XOR Specia-LIS-t

https://codeforces.com/contest/1604/problem/B

题意

给定长度为\(n\)的数列\(a_1,a_2,...a_n\)，请判断是否可以将它分成若干段，使得每一段的\(LIS\)长度异或和为\(0\)，\(t\)组询问。

\(t\le 10^4,\sum n\le 3\cdot 10^5,1\le a_i\le 10^9\)

解法

首先当\(n\)为偶数的时候，一个很显然的想法是将每一个\(a_i\)单独分为一段，然后就可以满足题意。

接下来我们考虑\(n\)为奇数的情况。

首先如果存在\(i\)满足\(a_i>=a_{i+1}\)，那么我可以把\(a_i,a_{i+1}\)分为一段，剩下的仍然单独一段，这样我就有了偶数个\(LIS=1\)的段，同样符合题意。

所以接下来我们就只需考虑\(n\)为奇数且\(a_1,a_2,...,a_n\)严格递增的情况。

注意到由于严格递增，任意区间\(a_l\)~\(a_r\)的\(LIS\)都等于\(r-l+1\)，那么相当于从\(1,2,...,n\)中选择\(k\)个数（可重复）组成\(b_1,b_2,...b_k\)，使得\(b_1+b_2+...+b_k=n\) 且 \(b_1\oplus b_2\oplus ... \oplus b_n=0\)

trick：
\(\oplus\) 与 \(+\) 对奇偶的影响一样，应用可以见诈骗题 CF1634B

由于\(b_1\oplus b_2\oplus ... \oplus b_n=0\)，所以\(b\)中一定有偶数个奇数（奇数二进制末位为\(0\)），那么\(b_1+b_2+...+b_k\)一定是偶数，这与\(b_1+b_2+...+b_k=n\)矛盾。所以这种情况下一定无解。

所以最后只需考虑前两种情况即可，时间复杂度\(O(n)\)