笛卡尔树学习笔记

前言

笛卡尔树是一种不那么常见的 \(\text{DS}\)，但是最近也经常在一些 \(\text{CF}\) 题里看到，\(\text{NOIP2022}\) \(\text{T4}\) 的 \(\text{36pts}\) 和这玩意有关，所以来重新系统地学习一下。

性质

笛卡尔树的实质是堆+BST。

笛卡尔树是一种二叉树，每一个节点由一个键值二元组 \((k,w)\) 构成，其中 \(k\) 满足二叉搜索树的性质，而 \(w\) 满足堆的性质。 —— OI Wiki

我们通常所说的 “对一个序列建笛卡尔树”，意思就是将一个位置的下标和权值分别作为 \(k\) 和 \(w\)，也就是说，对于一个节点 \(i\) 的左儿子 \(l_i\) 和右儿子 \(r_i\)，一定满足 \(l_i < i < r_i\)（下标 \(k\) 满足二叉搜索树的性质）且 \(v_{l_i}\) 与 \(v_{r_i}\) 同时不大于或不小于 \(v_i\)（权值 \(w\) 满足堆的性质）。若序列的权值互不相同，则笛卡尔树形态唯一。———— Alex_wei

扔一张 OI-Wiki 的图：

从图可以看出，笛卡尔树的子树是对应序列上一段连续的区间。

构造

为了满足下标的 BST 性质，新加入的节点只会影响到树的最右链。

所以我们可以从左到右依次加入序列中的每个值，维护一个递减的单调栈表示当前笛卡尔树的最右链。

加入一个值 \(v_i\) （也就是下标为 \(i\)）时，首先找到单调栈中最小的且大于 \(v\) 的值 \(w\)，设其对应节点为 \(u\)，那么将 \(u\) 的右儿子修改成 \(i\)，将 \(i\) 的左儿子修改成 \(u\) 原来的右儿子（也就是单调栈中 \(u\) 上方的元素），再将 \(i\) 压入栈即可。

时间复杂度 \(O(n)\)

for(int i=1;i<=n;++i){
	scanf("%d",&p[i]);
	pos=top;
	while(pos&&p[stk[pos]]>p[i]) pos--;
	if(pos) rs[stk[pos]]=i;
	if(pos<top) ls[i]=stk[pos+1];
	stk[++pos]=i;
	top=pos;
}

例题

咕咕咕

参考资料：

简单树论 —— Alex_wei

笛卡尔树 —— OI-Wiki